Индивидуальные задания Вариант №3

По курсу «Математические методы компьютерного моделирования физических процессов»

Для студентов КТАС, МИППС

Задача №1

Полагая, что сила сопротивления движению тела в среде зависит от скорости, плотности среды и ее вязкости, получите структуру этой зависимости с помощью теории размерностей. Уточните эту взаимосвязь, учитывая известный факт: при малых скоростях основное влияние оказывает вязкость среды, при больших – ее плотность.

Задача№2

Колесо массой 1 кг, распределенной по ободу радиусом 0.35 м, вращается с угловой скоростью10.5 рад/с на оси с жидкой смазкой и тормозится трением в оси. Момент силы трения , где a=2.810^-2 Нмс, b=9.110^-2 Нмс³. Колесо останавливается, когда угловая скорость становится равной 0.1 рад/с (захват трением покоя). Найдите время и число оборотов до остановки.

Задача№3

Космическое тело массой 1000 кг вошло в атмосферу Земли на высоте 300 км со скоростью v₀= 7,9 км/c параллельно поверхности Земли. Атмосфера тормозит тело силой , где S=1м² – площадь поперечного сечения. Принять, что плотность­ атмосферы зависит от высоты h по закону , где кг/м³ , м. Получить траекторию при наличии и в отсутствие силы сопротивления. Радиус Земли м.

Задача№4

Точечный груз прикреплен к оси вращения посредством невесомого жесткого стержня (поворотный математический маятник). Получить уравнение движения в безразмерном виде. Построить графики зависимости смещения и скорости от времени для различных начальных отклонений. Как распространить полученные результаты на произвольные математические и физические маятники?

Задача№5

Если один из параметров колебательной системы изменять с частотой вдвое большей, чем собственная частота колебаний этой системы ₀ , то энергия от источника двойной частоты будет перекачиваться в энергию собственных колебаний системы. Это явление носит название параметрического возбуждения колебаний. В качестве примера можно рассмотреть качели, собственная частота колебаний которых, как и у маятника при небольших колебаниях равна . Покажите, что если приседать в крайних точках два раза за период, то амплитуда колебаний будет возрастать.

Задача№6

Начертить силовые линии и эквипотенциали электрического поля созданного разноименными зарядами q₂ =– ­­q₁=10^-8 Кл, расположенные на расстоянии l=0,2 м

Задача№7

Построить траекторию электрона, влетающего перпендикулярно параллельным электрическому и магнитному полям

Индивидуальные задания Вариант №4

По курсу «Математические методы компьютерного моделирования физических процессов»

Для студентов КТАС, МИППС

Задача №1

Движение жидкостей по трубам определяются, как известно, следующими параметрами: перепад давления , плотность жидкости, вязкость, средняя скорость, диаметр трубы. С помощью теории размерностей получите структуру зависимости скорости движения от указанных параметров. Уточните эту зависимость с учетом того, что при малых скоростях преобладает влияние вязкости, а при больших – плотности.

Задача№2

С какой скоростью и под каким углом следует бросить мяч, чтобы попасть в баскетбольное кольцо, высота которого и расстояние по горизонтали от точки бросания равны: . Задачу решить при отсутствии и наличии силы сопротивления воздуха , где ­=0,4 – коэффициент формы, плотность воздуха, - поперечное сечение. Построить все возможные траектории для нескольких скоростей.

Задача№3

Привести уравнение движения спутника планеты к безразмерному виду. Составить функцию u=planet(u), которая бы выводила анимацию спутника и его траекторию. Предусмотрите вызов диалога для выхода из функции по нажатию клавиши мыши (questdlg). Данная функция должна использовать на входе начальный вектор состояния и возвращать на выходе текущий вектор состояния.

Исследуйте, как изменится траектория, если спутник получит небольшой толчок вдоль движения, или навстречу движению?

Задача№4

Точечный груз прикреплен к оси вращения посредством невесомого жесткого стержня (поворотный математический маятник). Получить уравнение движения в безразмерном виде. Построить график зависимости периода колебаний от начальных отклонений. Аппроксимировать полученную зависимость с помощью пакета cftool.

Указание: Для начальных отклонений близких к π система становится жесткой. Для обеспечения эффективности вычислительной процедуры, следует использовать солвер ode15s и подключить функцию, вычисляющую якобиан системы.

Задача№5

На тонком резиновом шнуре длиной 0,5 м подвешен небольшой шарик 50 г. Пусть в положении равновесия шнур растягивается грузом на 0,2 м. Груз отклонили на 0,3 м и отпустили. Постройте график смещения, траекторию и фазовую кривую колебаний.

Задача№6

Начертить силовые линии и эквипотенциали электрического поля созданного зарядами q₁=10^-8 Кл, q₂=–2∙10^-8 Кл расположенные на расстоянии l=0,2 м.

Задача№7

Магнитное поле B с осевой симметрией при x=0 равно B₀. Частица движется в этом поле под небольшим углом к оси Задайте какой-либо закон изменения B_x и изобразите траекторию частицы. Законы изменения B_x, B_y и B_z должны быть согласованы

Указание: Пусть магнитное поле имеет осевую симметрию с максимальным значением В₀ в центре и одинаково убывает по обе стороны от этой точки. Каков бы ни был закон убывания В_х, его можно разложить в ряд по степеням х: . Здесь предполагается, что , следовательно можно ограничиться только двумя членами. Выбор членов с четными степенями учитывает симметричный характер убывания в положительном и отрицательном направлениях. Приняв указанный закон изменения В_х, найдем В_y и В_z: Согласно условию соленоидальности магнитного поля . В цилиндрических координатах (r, x), при наличии аксиальной симметрии, это условие имеет следующий вид: , откуда . Интегрируя это равенство по r и, учитывая, что при r=0, rB_r=0, получаем: . Учитывая симметрию в радиальном направлении, находим