- •6.1. Означення та властивості невизначеного інтеграла.
- •6.2. Інтегрування частинами.
- •6.3. Іінтегрування заміною змінної.
- •6.4. Інтеграли від раціональних функцій.
- •6.5. Інтеграли, що зводяться до інтегралів від раціональних функцій.
- •6.6. Інтеграли, що містять тригонометричні функції.
- •6.7. Тригонометричні підстановки.
- •6.8. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції.
Т е м а 6. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
У багатьох галузях науки і техніки доводиться розв’язувати задачі про відновлення функції за відомою її похідною, тобто задачу, обернену до основної задачі диференціального числення.
6.1. Означення та властивості невизначеного інтеграла.
Треба знати, що функція у даному проміжку називається первісною функцією для функції або, коротше, первісною функції , якщо на всьому проміжку функція є похідною функції , тобто
.
Будь-яка первісна для функції може бути подана сумою, тобто , де довільна стала (константа).
Сукупність усіх первісних функцій на проміжку називається невизначеним інтегралом від функції і позначається
.
Слід звернути увагу на властивості невизначеного інтеграла:
-
, тобто знаки диференціала і інтеграла взаємно скорочуються, або ;
-
або .
Знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням функції і, як видно з відзначених вище властивостей, інтегрування і диференціювання є взаємно оберненими операціями.
З таблиці похідних безпосередньо витікає таблиця інтегралів.
Таблиця інтегралів елементарних функцій
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Диференціюванням перевірте вірність даної таблиці!
Можливості застосування таблиці інтегралів розширюються з використанням найпростіших правил інтегрування:
-
сталий множник можна виносити з-під знака інтеграла;
-
невизначений інтеграл від суми (різниці) функції дорівнює суми (різниці) інтегралів від кожної функції окремо;
-
Якщо , то
. (6.1)
Диференціюванням переконайтеся у вірності наведених співвідношень.
Особливо часто зустрічаються випадки, коли у рівності (6.1) або :
,
.
Приклад 6.1. Обчислити невизначений інтеграл .
Розв’язок. Використовуючи правила 1 та 2 і формулу 1 таблиці інтегралів, маємо:
.
Слід відмітити два основних методи інтегрування, що дозволяють зводити інтеграли до більш простих інтегралів, які або є табличними, або легко до них зводяться. До цих методів належать інтегрування частинами та інтегрування заміною змінної.
На закінчення розділу наведемо деякі інтеграли, які можуть бути корисними у обчисленнях:
, ;
;
.
Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §1, п. 1; 5, гл. 5, §5.1; 6, гл. Х, § 1-3].
6.2. Інтегрування частинами.
Нехай функції і мають неперервні похідні. Тоді має місце рівність
,
або
. (6.2)
Докажіть ці рівності що передають правила інтегрування частинами.
Загальне правило полягає у поданні підінтегральної функції у вигляді добутку , знаходженні первісної для функції і застосуванні формули (6.2). Метод є ефективним, якщо другий інтеграл у (6.2) виявиться простішим ніж перший.
Для інтегралів типу
де многочлен го степеня, слід прийняти
а для інтегралів типу
,
слід прийняти
, .
Приклад 6.2. Обчислити невизначені інтеграли: 1) ; 2) .
Розв’язок. Використовуючи правило інтегрування частинами, маємо:
Запам’ятайте, що довільну сталу при находжені можна як це видно з прикладу 6.2, не писати.
Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, § 1, п. 3; 5 гл. 5, § 5.2; 6, гл. Х, § 6].
6.3. Іінтегрування заміною змінної.
Нехай первісна функції , функція має неперервну похідну. Тоді
,
Прикладом заміни змінної є формула (6.1). Зверніть увагу, що після заміни змінної (підстановки) і інтегрування треба повернутися до старої змінної величини.
Можлива й інша форма заміни змінної:
де первісна функції; обернена функція до
Вдалий вибір нової змінної істотно полегшує обчислення інтеграла.
Приклад 6.3. Обчислити невизначені інтеграли:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Розв’язок. Використовуючи правило інтегрування частинами, маємо:
.
.
У останньому інтегралі підстановка , обрана так, щоб усі корені “добувалися”. Вибір вдалої підстановки вимагає певної навички. Для деяких класів інтегралів (див. нижче) можна вказати відповідні підстановки.
Заміну змінної можна виконувати і у неявному виді, наприклад,
розуміючи тут підстановку .
Л і т е р а т у р а: [4 ,гл. 6, § 1, п. 2; 5, гл. 5, § 5.2; 6, гл. Х, § 4].