42.Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.

Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек постоянна.

М – произвольная точка эллипса. О – середина F₁F₂. F₁F₂=2с. Сумма расстояний – 2a.Систему координат выберем таким образом чтобы Ох проходило через F_1, F₂ , а Оу делило пополам 2с.

F₁M+ F₂M=2a. - ур-е эллипса.

Преобразуем: ; 2a>2c, a>c,a²-c²=b²

Очевидно что каждая точка эллипса удовлетворяет этому уравнению. Но т.к. в процессе преобразований мы дважды возводили в квадрат обе части то необходимо проверить не получены ли лишние точки. Иначе говоря нужно проверить что каждая точка уравнения (4) принадлежит эллипсу. Предварительно сделаем несколько замечаний о форме линии, соответствующей уравнению (4). . Из уравнений видно что прямая симметрична относительно начала координат. С возрастанием от 0 до а, убывает от b до 0. Точки кривой лежат в прямоугольнике

Проверим теперь что каждая точка линии определяемая полученным уравнением принадлежит эллипсу. Для этого надо показать что если координаты точки М(х₀,у₀) удовлетворяют (4) то F₁M+ F₂M=2a.

Таким образом лишних точек не появилось.

Числа и - большая и малая полуоси эллипса. F_1, F₂ – фокусы эллипса.

При получаем - уравнение окружности.

Параметрические уравнения эллипса: Построим две окружности радиусом и с центром в начале координат. Из точки О проведем луч наклоненный к Ох под углом t. Проведем горизонтальную прямую через В и вертикальную через А. Изменяя t от 0 до 2 π точка М опишет эллипс. - парам-е уравнения эллипса. При а=b получим - параметрические уравнения окружности.

43. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы..

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и не равная 0.

Выберем опять оси координат и начало координат посередине отрезка F₁F₂. Расстояние F₁F₂ равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Из определения имеем: . 2а<2c, а<c

Имеем:

возведем в квадрат.

еще раз в квадрат. После простых преобразований получим:

Поделив обе части на получим: .

Как и в случае эллипса необходимо проверить что несмотря на двукратное возведение в квадрат мы не получим лишних точек. И следовательно уравнение (1) – уравнение гиперболы.

Предварительно отметим некоторые свойства линии определяемой уравнением (1). Из уравнения (1) следует что .

Линия (1) симметрична относительно осей координат и относительно начала координат. Видно что . Значит в полосе точек кривой нет. Следовательно кривая состоит из двух отдельных ветвей, одна из которых расположена в полуплоскости (правая ветвь), а вторая – в полуплоскости - (левая ветвь).

Пусть М(х₀,у₀) – произвольная точка линии, определяемая уравнением (1). . Если мы докажем что , то тем самым мы докажем что уравнение (1) является уравнением гиперболы.

далее в эту формулу подставляем у_0, раскрываем скобки, приводим подобные и учитывая что выделим под каждым корнем полные квадраты. В результате получим: . Пусть (для точек правой ветви), тогда .

При (для точек левой ветви) тогда .

Таким образом . Получаем что . Значит уравнение (1) – это уравнение гиперболы. Лишних точек не получилось.

Число а называется вещественной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью. Точки пересечения гиперболы с ее осью симметрии называются вершинами гиперболы. Точки F₁ и F₂ фокусы гиперболы.

Отметим еще одну особенность формулы гиперболы. Рассмотрим вместе с гиперболой пару прямых . В первой четверти при одной и той же абсциссе ординаты точек гиперболы меньше соответствующих ординат соответствующих точек прямой, т.к. . , т.к. . Т.е. точки гиперболы при неограниченном увеличении абсцисс как угодно близко подходят к соответствующим точкам прямой . В силу симметрии точки гиперболы в других четвертях неограниченно приближаются к точкам прямых, когда .

Прямые - асимптоты гиперболы. Асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2b, расположенного симметрично относительно осей симметрии гиперболы.

Если а=b то уравнение гиперболы принимает вид . Такая гипербола называется равнобочной.