24 Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.

Фиксируем в пространстве любую точку О - начало системы координат. Пусть - базис в пространстве, отложим векторы от точки О. Три плоскости определяемые попарно координатными осями называются координатными плоскостями. Будем говорить, что мы построили систему координат. Пусть - произвольный вектор, его можно единственным образом представить в виде . Коэффициенты x,y,z в называются координатами вектора в пространстве. Они независят от выбора начала координат. - проекции вектора на координатные оси Ox, Oy,Oz, а числа x,y,z – являются величинами этих проекций соответственно, если - масштабные векторы соответствующих координатных осей. Если система координат задана то для указания вектора употребляют запись (x,y,z). Пусть М – произвольная точка пространства. - радиус вектор этой точки. Декартовыми координатами точки М называются координаты (x,y,z) ее радиус вектора(смотри рисунок). Координаты точки зависят от начала выбора системы координат.

Простейшая Декартова система координат – прямоугольная. В случае ПДСК векторы - попарно ортогональны и длина каждого из них, измеренная масштабной единицей принятой для всего пространства равна 1. В ПДСК базисные векторы обозначаются (ось ОХ), (ось ОY), (ось ОZ). Все проекции в этом случае предполагаются прямоугольными. В отличие от специальных(ПДСК) ДСК в общем случае называются общими ДСК.

Базисная тройка векторов подразделяется на два типа правая и левая. Базис называется

правым, если при наблюдении с

конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки и наоборот. Соответствующие им системы координат также называются правыми и левыми.

Замечание: Если длины базисных векторов равны 1 то СК называется нормированной. Во многих случаях длина вектора называется его нормой. Если базисные вектора попарно ортогональны то и СК – ортогональная. Ортогональная и нормированная СК называется ортонормированной.

Координаты линейной комбинации векторов. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами.

Теорема: Координаты линейных комбинаций векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат линейных векторов.

Доказательство: Координаты векторов есть величины их проекций на соответствующих координатных осях. Но тогда утверждение теоремы следует из теоремы о величинах проекций линейных комбинаций векторов.

это равносильно следующей системе равенств