26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или . (1)

Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор то скалярное произведение равно 0.

Через m и n обозначим оси определяемые единичными векторами и .

Вместо (1) мы можем написать

Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если -сила, точка приложения которой перемещается из начала вектора в конец, то работа при этом совершаемая равна .

Свойства скалярного произведения:

1) (2) – коммутативность.

2) (3)

(3’)

Доказательство: (3) – доказано.

3)Дистрибутивность

Доказательство :

Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения:

4)Для того, чтобы , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или .

5)

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов.

Пусть

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

Если и вектор составляет с осями координат углы тогда . называются направляющими вектора .

Если то

.

Пусть задана координата двух точек и тогда

.

27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

Определение: Векторным произведением векторов и называется вектор обозначаемый который удовлетворяет трем следующим условиям: 1.

2. Вектор перпендикулярен векторам и .

3. Тройка векторов ,, является правой.

Рассмотрим основные свойства векторного произведения: 1) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторов и .

2) Если не параллелен то площади параллелограмма построенного на векторах и , точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника

3)

Доказательство:

4)

Доказательство: Докажем равенство (а). При α=0 или параллельном утверждение очевидно. Пусть α≠0 и не параллельно .

Правая часть:

Левая часть: 1. α >0

2. α <0

Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам и , осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α >0 то эти векторы направлены также как и . Если α <0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору (ч.т.д.)

Равенство (б) следует из (а) и свойства (3):

5) Дистрибутивность:

Доказательство: Докажем равенство (а’). Пусть единичный вектор(орт ).. Сначала докажем равенство .

От точки О отложим векторы и . Через точку О проведем плоскость перпендикулярную . Повернем по часовой стрелке на 90 градусов если смотреть с конца вектора . . - правая тройка. . Значит . Докажем равенство(*). Повернем треугольник OA’B’ на угол 90 градусов если смотреть с конца вектора .

(*) доказана. Теперь обе части равенства (*) умножим на : (ч.т.д.)

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов и по векторам базиса то мы можем записать на основании свойств 4 и 5:

В ортонормированном базисе : . (+ если тройка векторов правая, - если левая)

Для определенности будем считать что базис всегда правый. Таким образом получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой: .

Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую часть(**).

Таким образом произведение не

Замечание: Векторное обладает свойством ассоциативности. Например: