66. Вычисление предикатов на машине Тьюринга.

Полное состояние машины Тьюринга определяется ее внутренним состоянием, состоянием ленты (т.е. словом, записанным на ленте) и положением головки на ленте.

Полное состояние будем называть конфигурацией, или машинным словом, и обозначать тройкой a1qia2, где qi — текущее внутреннее состояние, a1 — слово слева от головки, а a2 — слово, образованное символом, обозреваемым головкой, и символами справа от него, причем слева от a1 и справа от a2 нет непустых символов.

Машина Т вычисляет предикат Р(a) (a — слово в A_исх), если Т(a) = w, где w = И, когда Р(a) истинно, и w = Л, когда Р(a) ложно. Если же Р(a) не определен, то машина Т, как и при вычислении функций, не останавливается. Машина Т вычисляет Р(a) с восстановлением, если Т(a) = aw.

67. Универсальная машина Тьюринга. План построения универсальной машины Тьюринга.

Систему команд машины Тьюринга можно интерпретировать и как описание работы конкретного механизма, и как программу, т.е. совокупность предписаний, однозначно приводящих к результату. Словесное описание алгоритма воспроизведения работы машины Тьюринга по заданной программе «Для текущей конфигурации a₁a_kq_ia_ja₂ найти в системе команд команду с левой частью q_ia_j. Если правая часть этой команды имеет вид q¢_ia¢_jR, то заменить в текущей конфигурации q_ia_j на a¢_jq¢_i (получится конфигурация a₁a_ka¢_jq¢_ia₂); если же правая часть имеет вид q¢_ia¢_jL, то заменить a_kq_ia_j на q¢_ia_ka¢_j (случай с Е можно не рассматривать)».

Формальное определение

Программу любой детерминированной машины Тьюринга можно записать, используя некоторый конечный алфавит, состоящий из символов состояния, скобок, стрелки и т. п.; обозначим этот машинный алфавит как Σ₁. Тогда универсальной машиной Тьюринга U для класса машин с алфавитом Σ₂ и k входными лентами называется машина Тьюринга с k+1 входной лентой и алфавитом такая, что если подать на первые k лент входное значение, а на k+1 — правильно записанный код некоторой машины Тьюринга M₁, то U выдаст тот же ответ, какой выдала бы на этих входных данных M₁, или будет работать бесконечно долго, если M₁ на этих данных не остановится.

План построения:

Будем считать, что машина Т всегда работает на правой полуленте. Тогда ленту U можно разделить на две бесконечные полуленты с границей Z между ними: в правой полуленте записывается текущая конфигурация машины Т (в силу нашего предположения конфигурация машины Т при этой имитации никогда не зайдет на левую полуленту), а в левой полуленте записан код системы команд S(ST).

Начальная конфигурация U имеет вид u1S(ST)ZS(q1)S(a)

u1 — начальное состояние машины U,

q1 — начальное состояние Т,

a — исходное слово Т).

68. Тезис Тьюринга

Всякий алгоритм может быть реализован машиной Тьюринга. Тезис Тьюринга позволяет, с одной стороны, заменить неточные утверждения о существовании эффективных процедур (алгоритмов) точными утверждениями о существовании машин Тьюринга, а с другой стороны, утверждения о несуществовании машин Тьюринга истолковывать как утверждения о несуществовании алгоритмов вообще.