12 Перечень контрольных вопросов (по семестром)

1 семестр

1 Дать определение матрицы, действия над матрицами.

2 Что такое определители второго и третьего порядка?

3 Сформулировать свойства определителей.

4 Дать определения дополнения и минора.

5 Дать определения определителей n-го порядка, обратной матрицы.

6 Дать определение декартовых координат на плоскости и в пространстве.

7 Какое пространство называется векторным и что такое линей на операция над векторами?

8 Что такое базис, разложение вектора по базису?

9 Сформулировать теорему Лапласа.

10 Сформулировать определения скалярного произведения двух векторов и его свойства, длины вектора, угла между векторами, условие ортогональности двух векторов.

11 Дать определение векторного произведения двух векторов, их свойств, приложения в геометрии и механике.

12 Что такое смешанное произведение трех векторов геометрический смысл определителя третьего порядка,

13 Определение линейного пространства. Действия над векторами в координатах.

14 Охарактеризовать прямую на плоскости.

15 Охарактеризовать плоскость в трехмерном пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей.

16 Охарактеризовать прямую линию в трехмерном пространстве, направляющий вектор прямой, канонические уравнения. Взаимное расположение двух прямых. Взаимное расположение прямой линии и плоскости.

17 Охарактеризовать кривые линии второго порядка (окружность, эллипс гипербола парабола, их геометрические свойства и уравнения).

18 Охарактеризовать поверхности второго порядка (сфера эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, их канонические уравнения и исследования их форм методом сечений).

19 Сформулировать определения прямой и обратной теоремы. Символы математической логики. Бином Ньютона.

20 Какие элементарные функции вы знаете, их свойства и графики?

21 Дать определения первого и второго замечательных пределов. Их следствия.

22 Дать определения непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация.

23 Дать определения производной функции в точке, ее геометрический и механический смысл. Необходимое условие существование производной. Основные правила дифференцирования.

24 Дифференцирования функции заданной параметрической, производная не явно заданной функции

25 производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытия не определенности по правилу Лопиталя.

26 Что такое точки экстремума функции? Теорема Ферма. Теорема Ролля, Лагранжа , Коши, их применения.

27 Дать определения выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба.

28 Что такое асимптоты плоских кривых? Общая схема исследования функции и построения ее графика.

29 Дать определение касательной и нормали к кривой второго порядка

2 семестр

30 Дать определение векторных функций скалярного аргумента. Производная ,ее механический и геометрический смысл.

31 Дать определение функции нескольких переменных . Предел и непрерывность, частные производные их геометрический смысл для функций двух переменных.

32 Определение дифференцируемости функций нескольких переменных. Полное приращение и полный дифференциал. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

33 Дать определение неявной функции. Теорема существования. Дифференцирование сложной функции двух переменных. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

34 Дать определение экстремумов функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Что такое условный экстремум? Метод множителей Логранжа.

35 Дать определение комплексных чисел, действия сними. Изображение комплексных чисел на плоскости, модуль и аргумент комплексного числа.

36 Сформулировать основную теорему алгебры. Теорема Бузу.

37 Дать определения первообразной, неопределенного интеграла и его простейшего свойства.

38 Правила интегрирования по частям и заменой переменной. Интегрирование дробнорациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Примеры «неберушихся» интегралов.

39 Определение определенного интеграла. Формула Ньютона Лейбница. интегрирование0 по частям и заменой переменной.

40 Методы приближенного вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольника, трапеций и Симпсона. Приложения определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения.

41 Несобственные интегралы первого рода с бесконечными пределами, основные свойства, признаки сходимости.

42 Задача о вычислении масс неоднородных плоских и пространственных тел. Определение двойных и тройных интеграллов.

43 Вычисление двойных тройных интегралов в полярных, цилиндрических и сферических координатах.

44 Приложения кратных интегралов к задачам механики: моменты инерции, координаты центра тяжести, статические моменты для плоских и пространственных материальных тел.

45 Определение криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги) и его свойства. Теорема существования и вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Задача вычисления работы силы вдоль линии. Определение кри-волинейного интеграла 2-го рода и его свойства. Теорема существования и вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами. Формула Грина

46 Поверхностные интегралы по площади и по координатам. Формулы Остроградского и Стокса.

47 Определение скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению.

48 Дивергенция векторного поля, свойства, вычисление, физический смысл. Формула Остроградского. Соленоидальное поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор векторного поля, свойства и вычисление.

3 семестр

50 Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравне­ниям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

51 Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциального уравнения.

52 Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях высшего порядка. Определитель Вронскрго.

53 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

54 Нахождение частного решения для уравнений со специальной правой частью.

55 Система обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Геометрический смысл решения. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Механическая интерпретация.

56 Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами. Необходимое и достаточное условия сходимости. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.

57 Достаточные признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости ряда.

58 Элементы теории функций и функционального анализа. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерно сходящиеся ряды и их основные свойства. Признак Вейерштрасса.

59 Степенные ряды. Теорема Абеля. Определение радиуса сходимости степенного ряда. Обобщенные степенные ряды. Свойства степенных рядов.

60 Ряды Маклорена и Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

61 Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций и определенных интегралов.

62 Тригонометрический ряд. Ряды Фурье. Теорема о сходимости ряда Фурье. Разложение периодической функции в ряд Фурье.

63 Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение непериодических функций. Интеграл Фурье. Синус и косинус преобразования Фурье. Свойства преобразование Фурье.

64 Функции комплексного переменного: предел, непрерывность и производная ФКП. Условия Коши-Римана.

65 Аналитические функции. Гармонические функции и их связь с аналитическими. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП.

66 Интеграл от функции КП. Его сведение к вычислению криволинейных интегралов. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши для одной и многосвязных областей.

67 Ряды комплексных чисел и функций КП. Ряды Тейлора и Лора­на. Изолированные точки и их классификация. Особенности ФКП в беско­нечно удаленной точке. Нули и полюсы аналитических функций, их связь.

68 Вычеты функции КП. Основная теорема о вычетах. Применение ее к вычислению интегралов. Вычисление несобственных интегралов с помощью вылетов.

4 семестр

69 Преобразование Лапласа, его свойства. Оригинал и изображе­ние. Основные теоремы об оригиналах и изображениях: линейность, подобие, запаздывание. Теорема существования изображений.

70 Сформулировать теоремы дифференцирования и интегрирования оригинала и изображения Свертка оригиналов, ее свойства. Преобразование Лапласа свертки

71 Сформулировать теоремы разложения. Интегрирование дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.

72 Постановка задач вариационного исчисления. Задача нахождения экстремума функционала, перевод его в функцию конечного числа переменных.

73 Задача Лагранжа на условный экстремум в оптимальном управлении. Некоторые элементы теории Гамильтона-Якоби и принципа максимума Понтрягина.

74 Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных: колебательные процессы, теплопроводность и диффузия, электромагнитное поле.

75Канонические формы и классификация уравнений в частных производных 2-го порядка. Характеристическое уравнение. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи. Корректность постановки краевых задач.

76 Уравнения колебания струны. Метод Даламбера (характеристик). Для уравнения колебаний струны.

77 Уравнение теплопроводности и его решение.

78 Метод Фурье. Общая схема его применения. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные функции и собственные значения.

79 Комбинаторика. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

80 Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

81 Определение случайной величины, ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения дискретной случайной величины.

82 Непрерывная СВ. Функция и плотность распределения. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Некоторые виды распределений.

83 Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, моменты распределния. Их свойства.

84 Понятие о системе случайных величин. Функция распределения двухмерной случайной величины . Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.

85 Числовые характеристики двумерного распределения. Коэффициент корреляции.

86 Закон больших чисел: неравенство и теорема Чебышева.

87 Предметет математической статистики и ее основные задачи. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Выборочное среднее и дисперсия. Точечные оценки и их характеристики: несмещенность, эффективность, состоятельность.

88 Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии. Метод максимального правдоподобия. Доверительная всроятность и доверительный интервал. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины.

89 Проверка статистических гипотез. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий двух нормальных совокупностей. Критерии Фишера и Пирсона.

90 Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Эмпирическая и теоретическая функции регрессии. Линейная регрессия. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции и его свойств. Корреляционное отношение.