37. Критерии качества управления. Типы критериев качества

управление объектом связано с выбором допустимых управлений.

В соответствии с целью управления для формулировки задачи оптимального управления необходимо определить количественный критерий качества управления.

Необходимо определить некоторый функционал J(u), ставящий в соответствие любому допустимому управлению некоторое число, характеризующее качество этого управления, относительно выбранного функционала. Функционал J есть отображение множества допустимых управлений на действительную прямую

-функциональное множество допустимых управлений.

Оптимальное управление доставляет экстремальное значение критерию качества. В последующем, без ограничения общности, будем рассматривать только задачи минимизации. Оптимальное управление будем обозначать . Оптимальное управление характеризуется соотношением

,

,

.

Допустим, что задано начальное состояние . Тогда решение системы (10.1.2), соответствующее оптимальному управлению u*(t) называется оптимальной фазовой траекторией объекта и обозначается x*(t), .

Наиболее распространенными в теории оптимального управления являются следующие типы функционалов:

1) Терминальный функционал (Функционал Майера)

Это некоторый функционал от конечного состояния системы

.

2) Функционал задачи быстродействия (функционал быстродействия)

Данный функционал соответствует времени перехода объекта из одного состояния в другое

.

Конечный момент времени не задан. Нужно перевести систему из одного состояния в другое за минимальное время. Здесь имеет место неявная зависимость функционала от управления.

3) Функционал интегрального типа (функционал Лагранжа)

.

4) Функционал Больца

.

Это есть комбинация терминального функционала и функционала Лагранжа.

Нужно найти управление из числа допустимых, чтобы функционал имел минимальное значение.

38. Классификация задач оптимального управления по типу ограничений фазовые переменные.

1) Задачи оптимального управления с фиксированным и нефиксированным конечным моментом времени.

Начальный момент времени , как правило, фиксирован, конечный же момент времени может быть как фиксированным, так и нефиксированным. Если конечный момент времени фиксирован, то соответствующая задача оптимального управления называется задачей с фиксированным временем.

Если момент не фиксирован, то соответствующая задача оптимального управления называется задачей с нефиксированным временем.

В задаче оптимального управления с нефиксированным временем необходимо найти оптимальное управление u*(t) и оптимальный конечный момент времени , которые доставляют минимум выбранному функционалу.

Пример задачи с нефиксированным временем – задача быстродействия.

2) Задача оптимального управления с закрепленными концами траекторий.

Зададим в фазовом пространстве Х две точки: и . Задача состоит в том, чтобы перевести систему из состояния в состояние . Ограничения налагаются так, что оптимальное управление должно перевести объект из точки , в точку и доставить минимальное значение определенному функционалу.

Граничные условия имеют вид: , .

Рассматриваются всевозможные траектории, соединяющие эти точки.

Из этого множества необходимо выбрать траекторию, которая минимизирует функционал.

Рис. 10.2. Фазовые траектории задачи оптимального управления с закрепленными концами траекторий

3) Задача оптимального управления с подвижными концами фазовых траекторий

В фазовом пространстве Х задаются два множества Г₁ и Г₂: Ø.

Задача состоит в том, чтобы переместить объект из множества Г₁: , на множество Г₂: и минимизировать при этом функционал.

Среди бесконечного множества траекторий выбирается та, которая минимизирует функционал.

Рис. 10.3. Фазовые траектории задачи оптимального управления

с подвижными концами траекторий

Как правило, начальный момент и начальные условия задаются.

4) Задача оптимального управления с подвижным правым концом фазовой траектории

.

Множество в этом случае вырождается в точку.

5) Задача оптимального управления со свободным правым концом фазовой траектории.

В этом случае на правый конец фазовой траектории никаких ограничений не задается. Необходимо минимизировать функционал при заданном начальном условии.

6) Задача оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные.

Ограничения задаются не только на концы фазовой траектории, но и на траекторию в целом. В фазовом пространстве Х задается множество Г(t), , и фазовая траектория не должна выходить за пределы этого множества: , .

Пример. ,