2. Структура екзаменаційних задач:

І. Задачі лінійного програмування:

1. математична модель; графічний розв’язок; простий аналіз на чутливість;

2. математична модель; ЗЗЛП → ОЗЛП; симплекс – таблиця, 1^-й перерахунок;

3. математична модель; аналіз за симплекс - таблицею на чутливість;

4. запис двоїстої задачі; її графічне розв’язання; розв’язання прямої задачі за теоремами двоїстої.

5. математична модель; графічний розв’язок; моделювання коефіцієнтів цільової функції;

6. ТЗ прямих поставок;

7. ТЗ з обмеженнями

8. дво етапні ТЗ

ІІ. Задачі нелінійного програмування:

1. графічно і за методом Лагранжа;

2. задачі класичної оптимізації;

3. ЗЦП за методом Гоморі: обмеження і 1^-й перерахунок;.

4. графічний метод розв’язування задач дробово-лінійного програмування.

5. задачі стохастичного програмування.

6. задачі динамічного програмування.

Iіі. Ризикологія:

1. якісний аналіз ризику діяльності окремого підприємства;

2. система кількісних оцінок ризику.

3. Приклади типових завдань

1. Розв’язати задачі лінійного програмування графічним методом:

а) Z = x₁ - 2x₂ (min) б) Z = x₁ + 3x₂ (max)

x₁ - x₂  1, x₁ - x₂  1,

x₁ + x₂  2, 2x₁ + x₂  2,

x₁ - 2x₂  0, x₁ - x₂  0,

x₁ 0; x₂  0. x₁ 0; x₂  0.

2. На виготовлення двох видів продукції (П₁ і П₂) витрачаються три види ресурсів Наявність ресурсів дорівнює відповідно: 361, 520, 248. Витрати ресурсів на одиницю продукції П₁ становлять відповідно:13, 7, 17; на одиницю продукції П₂ - 16, 4, 9. Ціна за одиницю продукції дорівнює відповідно: 11, 8. Побудувати модель лінійного програмування початкової й двоїстої задач. Знайти такий план виробництва, який би забезпечував найбільшу виручку. Дати економічне тлумачення розв’язків задач.

3. Знайти розв’язок наступних задач лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:

а)

.

б)

.

4. Для плану визначити, чи він є оптимальним для наступних задач (застосовуючи теореми двоїстості й не розв’язуючи задачі симплексним методом):

а)

б)

5. У наведеній задачі:

а) побудуйте економіко-математичні модель початкової й двоїстої задач;

б) приведіть задачі до канонічного виду й дайте економічне тлумачення основних й допоміжних змінних двох задач;

в) з наведеної останньої симплексної таблиці початкової задачі запишіть оптимальні планиі ;

г) визначте дефіцитні й недефіцитні ресурси, рентабельну та збиткову продукцію;

д) знайдіть межі зміни обсягів дефіцитних ресурсів, в котрих оцінка ресурсу залишається сталою (аналіз двоїстих оцінок на стійкість).

Підприємство виготовляє три види продукції А, В і С, використовуючи для цього три види ресурсів I, II, III. Норми ви­трат усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в табл.1

Таблиця 1

І II III

18 6 5

15 4 3

12 8 3

360 192 180

Відома ціна одиниці продукції кожного виду: А - 9 ум. од., В -10 ум. од. і С - 16 ум. од. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший доход.

Остання симплекс-таблиця даної задачі має такий вигляд (табл.2)

Таблиця 2

Базис	Сб	А0	9	10	16	0	0	0
			X1	X2	X3	X4	X5	X6
X2 X3 X6	10 16 0	8 20 96	1 1/4 5/4	1 0 0	0 1 0	1/9 -1/18 –1/6	-1/6 5/24 -1/8	0 0 1
		400	5	0	0	2/9	5/3	0

6. На основі умовно-оптимального плану цілочисельної задачі побудувати допоміжне обмеження Гоморі, приєднати його до умовно-оптимального плану, показаного у наведений нижче таблиці, і знайти цілі значення змінних задачі лінійного програмування.

І	Базис	Сб	А0	1	-1	3	4	2
				А1	А2	А3	А4	А5
1	Х1	1	14/3	1	-2/3	0	5/3	1/3
2	Х3	3	11/3	0	1/3	1	7/3	1
			47/3	0	4/3	0	14/3	11/3

7. Розв’язати наступну задачу: компанія контролює три фабрики А₁, А₂, А₃, здатні виготовляти 150, 60 та 80 тис. од. продукції щотижня. Компанія уклала договір з чотирма замовниками В₁, В₂, В₃, В₄, яким потрібно щотижня відповідно 110, 40, 60 та 80 тис. од. продукції. Вартість виробництва та транспортування 1000 од. продукції замовниками з кожної фабрики наведено в таблиці:

Фабрика	Вартість виробництва і транспортування 1000 од. продукції за замовниками
	В1	В2	В3	В4
А1	4	4	2	5
А2	5	3	1	2
А3	2	1	4	2

Визначити для кожної фабрики оптимальний план перевезення продукції до замовників, що мінімізує загальну вартість виробництва і транспортних послуг.

8. Записати модель транспортної задачі як задачі ЛП. Розв’язати задачу з додатковими умовами: повністю задовольняється попит 2-ого споживача;

неможливо виконати перевезення за маршрутом А₁ В₃ і А₃ В₁.

	В1=20	В2=60	В3=140
А1=75	7	4	6
А2=40	4	1	2
А3=35	3	5	9
А3=40	4	6	8

.

9. Розв’язати дво етапну транспортну задач: побудувати перший опорний план перевезень ТЗ, перевірити його на оптимальність, побудувати цикл перерозподілу ресурсів перевезень, порівняти вартості перевезень.

10. Розв’язати графічним методом задачу нелінійного програмування; знайти глобальний екстремум:

.

11. Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування:

12. Розв’язати графічним методом наступну задачу дробово-лінійного програмування:

за умов

13. За даною платіжною матрицею знайти маршрут проїзду по всіх містах, щоб вартість шляху була мінімальною. 1 2 3 4 5

1 ∞ 4 17 19 11

2 5 ∞ 10 22 15

3 3 1 ∞ 6 17

4 2 10 3 ∞ 3

5 10 3 6 10 ∞

14. Одному з працівників фірми “Альфа” запропонували посаду в фірмі “Омега” з більш високим окладом. Але ця фірма є новоствореною, тому існує певний ризик щодо високого заробітку. Не виключена можливість підвищення окладу і в фірмі “Альфа”. Ще більше підвищення заробітної платні може відбутися за умов покращення економічної ситуації в обох фірмах. Виміряти величину ризику і прийняти рішення про можливість переходу.

Фірма		Дана ЕС	Покращена ЕС
“Альфа”	Оклад	150	200
	Імовірність	0,3
“Омега”	Оклад	240	300
	Імовірність		0,4

15. Банк змушений продати акції однієї з чотирьох компаній, які є в його портфелі цінних паперів. Рішення щодо того, які акції продавати, залежить від стану фондового ринку (економічного середовища), який може подаватися трьома варіантами Q₁, Q₂, Q₃. Функціонал оцінювання (збитки у млн. грн., які понесе банк від реалізації акцій, бо їх курс є нижчим від того, за яким їх придбали) заданий в таблиці:

Варіант рішення	Стан економічного середовища
	Q1	Q2	Q3
Х1	5,0	3,0	4,0
Х2	7,5	3,0	3,5
Х3	2,5	8,0	4,5
Х4	5,5	2,5	4,5

Відомо також, що стан економічного середовища Q₁ може реалізуватися з ймовірністю 0,… , Q₂ – з ймовірністю 0,4, Q₃ – з ймовірністю 0,… . З чотирьох можливих варіантів виберіть таке рішення, яке було б оптимальним для банку (з точки зору мінімальних сподіваних збитків) і мінімізувало би рівень ризику.