- •Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:
- •5, 6,7,8. Прямая на плоскости
- •9. Расстояние от данной точки до данной прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •17.Векторное произведение векторов
- •18. Смешанное произведение трех векторов
- •Свойства предела последовательности. Общие свойства.
- •20. Предел функции
- •Свойства пределов функции
- •21. Непрерывность функции в точке.
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •Производные высших порядков
- •25. Ействия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме
- •26. 1.4.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •28. Неопределенный интеграл
- •30. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
- •33. Формула Ньютона — Лейбница.
- •38. Функции нескольких переменных
- •39. I числовые ряды
- •40. Функциональные ряды
- •42. 1. Основные понятия
- •43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •45. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
33. Формула Ньютона — Лейбница.
Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции
и
делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; b] то
(1)
33.Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [а; b
Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
-
Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке
-
Для любых a, b и c
-
Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A
-
-
Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.
-
Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a
34. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция
-
определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,
-
,
-
функция непрерывна на отрезке [a, b].
Тогда .
Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.
При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:
.
35. Теорема 2. Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то
(24)
Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.
Доказательство очень просто. Именно,
Так как по формуле интегрирования по частям будет
то
откуда и следует (24).
Пример 1.
Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).\
36
37
38. Функции нескольких переменных
Функции двух переменных Приращение функции
Функция, дифференцируемая в точке
при
В этом случае дифференциал функции в точке :
- частные производные, вычисленные в точке .
Дифференцирование композиции
1. Если то
2. Если то:
Однородная функция степени k
39. I числовые ряды
Признак сравнения
1) Если , начиная с некоторого и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать :
а) геометрическую прогрессию , , сходящуюся при и расходящуюся при ;
б) гармонический ряд , который расходится;
в) ряд Дирихле , сходящийся при и расходящийся, при p<1 ( что доказывается с помощью интегрального признака Коши).
2) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .
Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+), где - бесконечно малая величина при n, и известно, что ln(1, то этот ряд сравниваем с рядом
, представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.
Пример 2. Исследовать ряд .
n-й член данного ряда: ~ , т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится.
Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.