- •Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:
- •5, 6,7,8. Прямая на плоскости
- •9. Расстояние от данной точки до данной прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •17.Векторное произведение векторов
- •18. Смешанное произведение трех векторов
- •Свойства предела последовательности. Общие свойства.
- •20. Предел функции
- •Свойства пределов функции
- •21. Непрерывность функции в точке.
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •Производные высших порядков
- •25. Ействия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме
- •26. 1.4.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •28. Неопределенный интеграл
- •30. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
- •33. Формула Ньютона — Лейбница.
- •38. Функции нескольких переменных
- •39. I числовые ряды
- •40. Функциональные ряды
- •42. 1. Основные понятия
- •43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •45. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
45. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Укажем некоторые виды дифференциальные уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Уравнение вида . После n-кратного интегрирования получается общее решение
II. Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка включительно:
Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой . Тогда уравнение примет вид
Из последнего уравнения, если это возможно, определяем , а затем находим из уравнения k-кратным интегрированием.
III. Уравнение не содержит независимого переменного:
Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом рассматривается как новая неизвестная функция от . Все производные выражаются через производные от новой неизвестной функции по
Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.
IV. Уравнение , однородное относительно аргументов , т.е.
Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу подстановкой , где — новая неизвестная функция от .
V. Уравнение, записанное в дифференциалах,
в котором функция однородна относительно своих аргументов , если считать и — первого измерения, а и т.д. — измерения . Тогда будет иметь измерение , – измерение и т.д.
Для понижения порядка применятся подстановка . В результате получается дифференциальное уравнение между и , не содержащее явно , т. е допускающее понижение порядка не единицу (случай III).
Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка дифференциального уравнения.
46. . Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
где р и q постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 3.5).
Будем искать частные решения уравнения (4.1) в виде
где k - некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1), получим:
Уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением ДУ (4.1) (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить у", у' и у соответственно на k2, k и 1).
При решении характеристического уравнения (4.2) возможны следующие три случая.
Случай 1. Корни k1 и k2 уравнения (4.2) действительные и различные:
В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции y1=ek1x и у2=еk2x. Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан
Следовательно, общее решение уравнения (4.1), согласно формуле (3.16), имеет вид
Пример 4.1. Ре