33. Формула Ньютона — Лейбница.

Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции

 и 

делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; b] то 

 (1)

33.Формула (1) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [а; b

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

• Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке 

• Для любых a, b и c

• Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

• Если f (x) и g (x) интегрируемы на [a; b], то f (x) · g (x) также интегрируема на этом отрезке.

• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a

34. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция 

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

3. функция  непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е.  , тогда  - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.  Пример:

.

35.  Теорема 2. Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то

     (24)

     Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.

     Доказательство очень просто. Именно,

     Так как по формуле интегрирования по частям будет

то

откуда и следует (24).

 Пример 1.

Здесь применена подстановка ln x = z (причем формула (22) прочитывалась слева направо).\

36

37

38. Функции нескольких переменных

     Функции двух переменных       Приращение функции 

     Функция, дифференцируемая в точке  

 при 

В этом случае дифференциал функции в точке :

 - частные производные, вычисленные в точке .

     Дифференцирование композиции 

     1. Если  то

     2. Если  то:

     Однородная функция степени k 

39. I числовые ряды

Признак сравнения

 1) Если , начиная с некоторого  и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать :

а) геометрическую прогрессию  ,  , сходящуюся при  и расходящуюся при ;

б) гармонический ряд  , который расходится;

в) ряд Дирихле , сходящийся при  и расходящийся, при p<1                             ( что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

   2) Если существует конечный и отличный от нуля  предел  (в частности, , то ряды  (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+), где - бесконечно малая величина при n, и известно, что ln(1, то этот ряд сравниваем с рядом

 , представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд   .

n-й член данного ряда:   ~ , т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится.

   Часто, прежде чем использовать  какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при  и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.