Предрасчет точности измерений по заданной погрешности функции (Задача проектирования)

Вторая задача теории погрешностей измерений используется для проектирования точностей, с которыми необходимо производить измерение параметров для достижения общей точности, максимально приближенной к заданной.

Основные формулы.

Дисперсии для трех случаев применения принципа равных влияний:

Погрешности трех случаев применения принципа равных влияний:

10. Для производства угловых измерений в полигонометрии получено три теодолита. Первый теодолит результат со средней квадратической погрешностью измерения угла одним приемом, равной , второй — равной , третий — с погрешностью, равной . Определить какое минимальное число приемов нужно сделать каждым теодолитом, чтобы обеспечить получение средней квадратической погрешности вероятнейшего значения угла не более .

Дано: , , ,

Найти: , ,

Решение. Для того, чтобы найти количество приемов воспользуемся следующей формулой:

где — точность, с которой был получен угол в один прием, — количество приемов.

Выразим количество приемов из этой формулы и найдем их для каждого теодолита.

Ответ: , , .

20. При проектировании результатов измерений по первому принципу (равенство погрешностей измерений) требуется получить площадь прямоугольника с погрешностью при соотношении сторон и погрешности измерения стороны . Найти длины сторон прямоугольника и , удовлетворяющие поставленному условию на погрешность площади.

Дано: , ,

Найти:

Решение. Составим функцию площади прямоугольника:

Учитывая то, что отношение сторон по длине , получим

Найдем частную производную

Замишем формулу погрешности и подставим все имеющиеся данные

Выразим сторону и вычислим ее:

Зная соотношение, вычислим величину стороны :

Ответ: , .

30. Определить средние квадратические погрешности измерения ребер прямоугольного параллелепипеда , и , при которых его объем будет получен с погрешностью .

Дано: , , ,

Найти: , ,

Решение. Составим функцию объема параллелепипеда:

Найдем частные производные по каждой из сторон:

Вычислим погрешности по трем методам:

1)

2)

3)

Вычисление весов измерений и функций

Для облегчения совместной обработки разнородных и неравноточных результатов измерений вводится понятие веса. Весом называют степень доверия к результату, который вычисляется как величина, обратно пропорциональная к точности получения результата.

Основные формулы.

Вес

Обратный вес функции измерений, из которых зависимы

Обратный вес функции, представленной в матричном виде

Средняя квадратическая погрешность единицы веса

• по истинным ошибкам

• по истинным невязкам

• по истинным поправкам

Погрешность функции с использованием принципа равных влияний

5. Угол получен со средней квадратической погрешностью . Сколько приемов нужно сделать инструментом, дающим результат одного измерения со средней квадратической погрешностью , чтобы веса углов оказались одинаковыми?

Дано: , ,

Найти:

Решение. Запишем формулу для нахождения средней квадратической погрешности из приемов:

Также нам известно, что веса этих измерений угла должны быть одинаковы:

Откуда выразим и вычислим количество приемов:

Ответ: приемов.

30. Угол получен как среднее из углов и , которые измерены шестью и двумя приемами соответственно. Средние квадратические погрешности результата измерения угла одним приемом оказались и . Найти вес угла , приняв за единицу вес вероятнейшего угла .

Дано: , , ,

Найти:

Решение. Угол получается как среднее из суммы углов и , т.е.

Найдем частные производные от функции по и по :

Вычислим средние квадратические погрешности из приемов:

По условию дано, что вес угла равен единице, значит можно вычислить коэффициент .

Найдем вес измерения угла :

Вычислим обратные веса измерений:

Запишем уравнение для нахождения обратного веса функции и вычислим его значение:

Найдем вес угла :

Ответ: .