Вопрос № 20 Параллельный перенос и поворот осей координат

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от систе­мы координат Оху к новой системе O₁x₁y ₁, при котором меняется поло­жение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неиз­менными.

Пусть начало новой системы координат точка О₁ имеет координаты (x₀;y₀) в старой системе координат Оxy, т.е. О₁(x₀;y₀). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Oxy через (x;y), а в новой системе О₁x₁y₁­ через  (см. рис. 6).

Рассмотрим векторы

 

Так как то т.е.

Следовательно

 

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование ко­ординат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система 0\х\у\ получена поворотом •системы Оху на угол а.

Пусть М — произвольная точка плоскости, (а;; у) — ее координаты в старой системе и (х', у') — в

новой системе.

Введём две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Oxi (масштаб одинаков). Полярный радиус г в обеих системах оди­наков, а полярные углы соответственно равны a + j и j, где j - полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

 

 т.е.

 

Но и

 

Поэтому

 

 

 

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они по­зволяют определять старые координаты  (x;у) произвольной точки М че­рез новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O₁х₁у₁ получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол a (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы  легко по­лучить формулы

 

выражающие старые координаты х и у произвольной точ­ки через её новые координаты х' и у'.

Вопрос № 21 Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение

Ах+Ву+С=0

(где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы коэффициенты А, В не были нулями оба сразу) представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Вопрос № 23 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

 

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

 

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ ? С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.