Вопрос № 15 Разложение вектора по ортам координатных осей

Разложение вектора по координатным осям.

Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Oy, Oz. Выберем на оси Ox вектор = (1,0,0), на оси Oy - вектор = (0,1,0), на оси Oz - вектор = (0,0,1) . Они взаимно-перпендикулярны и имеют единичную длину . Векторы , и называют ортами координатных осей .

Вектор лежит на оси Ox и его длина равна x , поэтому Аналогично Сумма этих векторов дает вектор :

Это выражение называется формулой разложения вектора по ортам координатных осей. Используя эту формулу , нетрудно получить :

Вопрос № 14-(32) Теоремы о непрерывных функциях.

Первая теорема Больцано-Коши.Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.

Вторая теорема Больцано-Коши. Пустьf(x) определена и непрерывна на отрезке <a,b> и . Тогда m<C<M сО<a,b> f(c)=C.

Примечание. Символ < означает любой из двух символов – ( или [, а символ > - любой из двух символов - ) или ]. Таким образом, отрезок <a, b> означает любой из следующих отрезков – [a,b], (a,b], [a,b), или (a,b).

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x1, x2 принадлежащие [a,b], что , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].

Вопрос № 11-(30) Бесконечно малые величины (функции). Теоремы о бесконечно малых величинах

Функция α (x) называется бесконечно малой при , если

Теоремы о бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если an — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно большая последовательность.

Вопрос № 10-(29) Понятие последовательности и ее предела. Предел функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству |xn - a| < e.

Записывают это следующим образом: или xn→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- e < xn < a + e, (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0 если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если то

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c.

ВОПРОС № 9-(28)