2. Метод Ньютона з якобіаном із кінцевих різниць

У цьому методі замість похідних, що входять до складу якобіана, використовуються їхні наближені значення в точці

де h - фіксоване достатньо мале число, наприклад ,.

3. Модифікований метод Ньютона

При використанні стандартного методу Ньютона на кожній ітерації доводиться обчислювати новий якобіан , хоч зрозуміло, що при закінченні ітерацій він повинен прийняти стабільне значення , де –розв'язок. У модифікованому або спрощеному методі Ньютона якобіан заміняють правильно підібраною матрицею А. Звичайно, найкращим, але практично недосяжним варіантом була б заміна , де - розв'язок.

Але на практиці користуються компромісним рішенням:

– вибирають за А якобіан в початковій точці , a ітерації проводять за наступною формулою

– зберігають А протягом певного числа ітерацій;

– на певній r-й ітерації змінюють А, прирівнюючи її якобіану і з новим значенням знову виконують певне число ітерацій і т.д.

Отже, якобіан обчислюється тільки час від часу, за рахунок чого досягається економія машинного часу. Однак, збіжність методу при цьому близька до лінійної.

Завдання до лабораторної роботи

Розв’яжіть систему нелінійних рівнянь одним із методів, вказаних викладачем, вибираючи за початкові наближення . Ітерації проводити до збігу двох послідовних наближень з похибкою .

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

2.1. Домашня підготовка до роботи

1. Ознайомитися з основними теоретичними відомостями.

2. Розробити блок-схему алгоритму методу

3.Написати програму, яка забезпечить розв’язок та виведення на екран результатів роботи. Варіанти завдань беруть за вказівкою викладача.

2.2. Робота в лабораторії

1. Ввести в комп'ютер програму згідно з отриманим завданням.

2. Здійснити відладку введеної програми, виправивши виявлені помилки.

3. Виконати програму. Текст відлагодженої програми та отримані результати оформити у звіт з лабораторної роботи.

3. ЗМIСТ ЗВIТУ

1. Мета роботи.

2. Короткі теоретичні відомості.

3. Повний текст завдання.

4. Блок-схема алгоритму програми.

5. Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій, використаних в програмі, та їх пояснення.

6. Остаточно відлагоджений текст програми згідно з отриманим завданням.

7. Результати виконання програми.

8. Висновок.

Контрольні запитання

1. Опишіть алгоритм стандартного методу Ньютона.

2. При виконанні якої умови закінчується ітераційний процес в стандартному методі Ньютона?

3. Який характер має збіжність на початку ітераційного процесу стандартного методу Ньютона ?

4. Який основний недолік стандартного методу Ньютона?

5. Опишіть порядок знаходження коренів системи нелінійних рівнянь методом Ньютона з якобіаном із кінцевих різниць.

6. Опишіть порядок знаходження коренів системи нелінійних рівнянь модифікованим методом Ньютона.

7. За рахунок чого досягається економія машинного часу в модифікованому методі Ньютона?

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. – М.: Наука, 1974. – 830 с.

2. Маликов В.Т., Кветный Р.Н. Вычислительные методы и применение ЭВМ: Учеб. пособие. – Киев: Выща шк., Головное изд-во, 1989. – 213 с.

3. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235 с.

4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998. –570 с.

5. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Чисельнные методы. Использование Matlab. Издательский дом «Вильямс» Москва – Санкт-Петербург – Киев, 2001.

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Методичні вказівки

до лабораторної роботи № 5

з курсу