- •12 Случайные велечины
- •16 Непр. Случайная. Величина.
- •37. Следствия из центральной предельной теоремы.
- •38. Предмет и основные понятия математической статистики. Первичная обработка.
- •39. Первичная обработка выборки.
- •40. Точечные оценки параметров распределения.
- •46. Метод моментов.
- •49.Распределение отношения выборочных дисперсий 2 норм генер совокупностей.
- •50. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •51. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии
- •51. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии
- •52.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
- •53 . Проверка статистических гипотез
- •54 . Ошибки 1 и 2 рода
- •55. Критерий и его применение.
49.Распределение отношения выборочных дисперсий 2 норм генер совокупностей.
Пусть генеральные совместимости , m1, m2 известны. - выборки из X и Y соответственно.
Найдем закон распределения отношения выборки дисперсий
распределение Фишера
Т.о.
50. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящую оценку , но и указать к каким ошибкам может привести замена параметра его оценкой , т.е. требуется оценить точность и надежность оценки.
Для определения точности оценки в статистике пользуются доверительными интервалами.
Для определения надежности оценки в статистике пользуются доверительной вероятностью.
Опр. Доверительным интервалом для параметра называется интервал , содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью .
.
Опр. Число называется доверительной вероятностью, а значение – уровнем значимости.
Замечание. Нижняя и верхняя граница доверительного интервала определяется по результатам наблюдений и следовательно является СВ. Поэтому так и говорят, что доверительный интервал «накрывает» оцениваемый параметр с вероятностью .
Выбор доверительной вероятности каждый раз определяется конкретной постановкой задачи. Обычно р = 0,9; р = 0,95; р = 0,99.
Часто применяют односторонние доверительные интервалы
(левосторонний), (правосторонний).
В простейших случаях метод построения доверительных интервалов состоит в следующем –оценка,. Предположим, что существует непрерывная и монотонная функция Y, зависящая от и , но такая, что ее распределение не зависит от и других параметров. Для нахождения границ доверительного интервала по заданной доверительной вероятности . В этом случае можно использовать неравенство , где числа , определяются из условия
Рассмотрим нахождение доверительного интервала для среднего и дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.
51. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии
2)Доверительный интервал для оценки МО при неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В качестве оценки для m возьмем . Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то по выборке определяем статистику . Доверительный интервал для m в этом случае находится с помощью статистики .
В литературе по статистике показано, что Y имеет распределение Стьюдента с n–1 степенью свободы .
По заданной доверительной вероятности , используя таблицы распределения Стьюдента с n–1 степенью свободы, находим .
.
.
.
51. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии
1) Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.
Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ Х, где . В качестве оценки для m возьмем . Предположим, что известна. Рассмотрим статистику
.
Статистика .
По таблице нормального распределения найдем квантили и
.
.
.
.
.
Учитывая, что получаем
.