32 Производные от обратных тригонометрических функций
33. Производная логарифмической функции.
Покажем
сначала, что логарифмическая функция
дифференцируема в каждой точке. Графики
функций y=logax
и у = аx
симметричны относительно прямой у=х.
Так как показательная функция
дифференцируема в любой точке, а ее
производная не обращается в нуль, график
показательной функции имеет
негоризонтальную касательную в каждой
точке. Поэтому и график логарифмической
функции имеет невертикальную касательную
в любой точке. А это равносильно
дифференцируемости логарифмической
функции на ее области определения.
Докажем
теперь, что производная
логарифмической функции
для любого х из области определения
находится по формуле
(1)
По
основному логарифмическому тождеству
х = еln х
при всех положительных х, т. е. в этом
равенстве справа и слева стоит одна и
та же функция (определенная на R+).
Поэтому производные х и еln
x равны, т.
е. x' = (eln x)'
(2) Известно, что х' = 1. Производную правой
части вычисляем по правилу нахождения
производной сложной функции и теореме
1 : (еln
x)'= еln
х ln' x=x ln' x.
Подставляя найденные производные в
равенство (2), находим l = х ln' х, откуда
.
Формула (1) показывает, что
для функции
на
промежутке(0; ∞) любая первообразная
может быть записана в виде ln x + С.
Функция
имеет
первообразную и на промежутке (—∞; 0),
это функция ln( —x). Действительно,
Так
как |x| = х при х>0 и |x| = —х при х<0, мы
доказали, что на
любом промежутке, не содержащем точку
0, первообразной для функции
является
функция ln |x| .
34. Производная сложной функции.
Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g имеет производную в точке y0=f(x0)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х0, причем h’(x0) = g’(f(x0))•f’(x0) (1)
Для
доказательства формулы (1) надо (как и
раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx
и установить, что
при
Δx→0. Введем обозначения: Δy = f(x0+Δx)-f(x0)=
Δf
Тогда Δh = h(х0 + Δх) - h(x0) = g(f(x0 +Δx)) - g(f(x0)) = g(y0 + Δy) - g(y0) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x0. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х0. Тогда
при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x0) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y0) при Δy→0, что выполнено при Δx→0
35. Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова: (xn)’=nxn-1 (1)
Формула производной функции х2 уже известна: (х2)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:
(x3)’=( x2⋅x)’= (x2)’x+ x2(x)’= 2x⋅x + x2⋅1=3 x2;
(x4)’=( x3⋅x)’= (x3)’x+ x3(x)’= 3x2⋅x+ x3⋅1=4x3.
Заметим теперь, что (x2)’=2x2-1, (x3)’=3x3-1, (x4)’=4x4-1, т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д. Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4. Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что (xk)’=kxk-1.
Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно, (xk+1)’=(xk⋅x)’=( xk)’⋅x + xk⋅(x)’= kxk-1⋅x + xk = (k+1) xk
Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции). Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0 (x1)’=1⋅x1-1 = 1⋅x0 =1, (x0)’=0⋅x0-1 = 0,что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта. Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0:
В результате можно сделать вывод: Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1) (xn)'=nxn-1
Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференциремы в каждой точке своей области определения