4.3. Уравнения трансформатора
4.3.1. Уравнения, описывающие работу трансформатора
Работа трансформатора основывается на принципе электромагнитного взаимодействия двух или большего числа обмоток, неподвижных друг относительно друга, как это показано на рис. 4.1. Пусть u1 – мгновенное значение напряжения, подводимое к первичной обмотке частоты f1. Под влиянием u1 в первичной обмотке возникает ток i1 и в сердечнике возбуждается изменяющийся магнитный поток Ф, который индуктирует в обмотках трансформатора ЭДС e1 и e2. При замыкании вторичной обмотки на сопротивление Zн возникает ток i2, который возбуждает свой магнитный поток. В результате в сердечнике трансформатора создается общий магнитный поток Ф, сцепленный с витками обеих обмоток, который называется основным или рабочим потоком. Он индуктирует в обмотках ЭДС
.
(4.1)
Здесь Ψ10, Ψ20 – потокосцепления обмоток, созданные основным магнитным потоком.
Кроме основного потока, токи обмоток создают так называемые поля рассеяния. Эти поля сцеплены с витками только одной обмотки – первичной Ф1 или вторичной Ф2 Поля рассеяния замыкаются в основном помимо сердечника, поэтому можно считать, что индуктивности рассеяния постоянны: L1 = const; L2 = const.
Поля рассеяния индуктируют в обмотках ЭДС
;
.
(4.2)
Согласно второму закону Кирхгофа, уравнения равновесия напряжений для обмотки трансформатора можно записать в виде:
;
(4.3)
.
Или с учетом (4.1) и (4.2)
;
(4.4)
,
где
и
– полные потокосцепления обмоток,
созданные основным потоком и потоками
рассеяния.
Потокосцепления
обмоток трансформатора
и
можно записать в виде
;
,
(4.5)
где L1 и L2 – полные индуктивности обмоток,
M12 = M21 = M – взаимоиндуктивности между обмотками.
Подставляя (4.5) в (4.4) получим, предполагая, что L1, L2 и M = const,
;
(4.6)
.
Уравнения (4.4) и (4.6) называются уравнениями напряжения трансформатора. Отношение
(4.7)
называется коэффициентом трансформации трансформатора.
Токи в обмотках трансформатора создают МДС W1 ∙ i1 и W2 ∙ i2. Согласно второму закону Кирхгофа в применении к магнитной цепи можно написать
W1 ∙ i1 + W2 ∙ i2 = W1 ∙ io , (4.8)
где W1 ∙ io – намагничивающая составляющая МДС, идущая на создание в сердечнике основного магнитного потока Ф. Уравнение (4.8) называется уравнением МДС.
4.3.2. Уравнения трансформатора при синусоидальных u и I
Если
напряжения, ЭДС и токи изменяются по
синусоидальному закону, то действующие
их значения можно изобразить комплексами
.
В этом случае уравнение для ЭДС от полей
рассеяния (4.2) можно записать так
.
Видим,
что ЭДС
отстает по фазе от тока i1
на 90
и ее действующее значение можно записать,
как
,
(4.9)
где x1=ωL1 – индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки.
Аналогично
.
(4.10)
С учетом этого вместо уравнений для мгновенных значений (4.3) можно записать уравнения в комплексной форме
;
,
(4.11)
где
z1 =
r1 +
j·x1;
z2 =
r2 +
j·x2.
Аналогично можно записать и уравнения (4.6)
;
.
(4.12)
При анализе работы трансформаторов обычно пользуются уравнениями (4.11), так как они более удобны при расчете.
Уравнения МДС (4.8) в этом случае примут вид
. (4.13)