1.1.10. О решении задач оптимального управления вариационными методами

Сформулированная во введении задача оптимального управления существенно напоминает общую задачу Ла­гранжа классического вариационного исчисления. Действительно, при оптимальном управлении мы имеем объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений

(1.38)

Заданы начальное и конечное состояния объекта , и критерий оптимальности

(1.39)

В области допустимых управлений необходимо найти такое управление , на котором критерий опти­мальности достигнет наименьшего значения, а объект пе­реводится из заданного начального состояния в заданное конечное по траектории, принадлежащей области допусти­мых значений.

Уравнения объекта можно рассматривать как аналоги дифференциальных уравнений связей в вариационном исчислении. Критерий оптимальности представляет по существу минимизируемый функционал. Совокупность функций расценивается как система неизвестных и подлежащих определению функций. Если предположить, что на управления и состояния ника­ких ограничений не наложено, и они могут быть гладкими функциями, то решение задачи можно искать в соответст­вии с используемой в вариационном исчислении схемой.

С этой целью составляется вспомогательный функционал

(1.40)

Здесь — независимые переменные.

Относительно функций составляют уравнения Эйлера, к ним добавляют уравнения объекта управления и получают систему из уравнений

с таким же числом неизвестных . Заметим, что замыкающие систему уравнения объекта можно трактовать как уравнения Эйлера относительно неопределенных множителей Лагранжа: . Последнюю систему можно переписать в виде

(1.41)

(1.42)

(1.43)

Уравнение (1.41) является алгебраическим. Оставшиеся уравнений представляют систему дифференциальных уравнений первого порядка. При их решении необходимо определить постоянных интегрирования, которые вычисляются на основании такого же количества заданных граничных условий. Этот процесс вычисления, связанный с решением двухточечной краевой задачи (траектория должна пройти через заданные начальную и конечную точки), может оказаться весьма трудоемким. Однако принципиально система (1.41) — (1.43), состоящая из уравнений и содержащая такое же количество неизвестных, позволяет отыскать все неизвестные, включая оптимальное управление .

Пример 1.9. Пусть имеется одномерный ОУ, описываемый уравнением , и заданы граничные условия .

Качество системы описывается функционалом . Необходимо отыскать управление , минимизирующее и переводящее объект из начального состояния в конечное. Это и есть задача о мини­мальных энергетических затратах, уже обсуждавшаяся во введении. Для решения задачи представим уравнение ОУ в форме Коши, положив , тогда и . Составим вспомогательный функционал

и по переменным запишем систему уравнений Эйлера

Из второго уравнения следует , из третьего , из первого из пятого и, наконец, из четвертого . Для вычисления постоянных интегрирования составим систему уравнений в соответствии с граничными условиями (при ):

Отсюда легко находим постоянные и и этим завершаем поиск оптимального управления .

Задачу можно решать и без перехода к уравнениям в форме Коши, составив вспомогательный функционал с учетом исходного уравнения ОУ. В этом случае

и минимизация осуществляется по трем переменным . Однако по переменной нужно пользоваться не уравнением Эйлера, а уравнением Эйлера — Пуассона (1.17). Соответствующая система уравнений принимает вид

Из второго уравнения следует , из первого , из третьего . Постоянные интегрирования по-прежнему находим из граничных условий, и реше­ние тождественно совпадает с предыдущим.

Поиск оптимального управления средствами вариационного исчисления значительно усложняется, если учитывать ограничения на области допустимых управлений и состояний, имеющихся в любой технической задаче. Наличие ограничений приводит к тому, что в пространстве управлений оптимальные управлении не могут выходить за пределы некоторой допустимой области, но могут оказаться на ее границе, и тогда управление нельзя найти из обычного уравнения Эйлера. Это обусловлено тем, что при выводе уравнения Эйлера мы придавали функции вариацию , где — малая величина, произвольная по знаку. Поэтому вариацию называют двусторонней. Если управление находится на границе допустимой области, то двустороннюю вариацию применять нельзя, так как при определенном знаке функция выйдет из допустимой области. Вариация должна быть односторонней, но тогда мы не придем к уравнению Эйлера. Возникшую трудность в вариационном исчислении преодолевают переходом к новой переменной, построенной таким образом, что ограничения на не приводят к ограничениям на эту новую переменную. Относительно новой переменной можно пользоваться обычным уравнением Эйлера, найти экстремали и точки, в которых экстремали сочленяются с границей допустимой области. В результа­те функция будет состоять из экстремалей (лежащих в допустимой области решений уравнений Эйлера) и отдельных участков границы допустимой области.

Изложенный подход вариационного исчисления к решению задач с ограничениями применяется тогда, когда минимизируемый функционал зависит от производных функции и не является вырожденным. В задачах оптимального управления критерии оптимальности, как правило, этих производных не содержат, и использование уравнения Эйлера может привести к утверждению, что экстремалей нет вообще. Последнее может означать, что оптимальная функция находится только на границах допустимой области. Однако поведение этой функции на границах (например, точки перехода с одной границы на другую, число этих переходов и т. п.) установить вариационными методами в практически приемлемой форме не удается.

Пример 1.10. Состояние объекта управления описывается уравнениями при граничных условиях . На управление задано ограничение .

Необходимо минимизировать критерий качества и перевести ОУ из начального в конечное состояние.

Введем новую переменную, связанную с соотношением . Переменная может принимать любые значения, и при этом всегда будет выполнено исходное ограничение . Следовательно, на ограничения не налагаются. Относительно переменной теперь можем решать задачу на условный экстремум, используя метод множителей Лагранжа. Составляем функцию

и по переменным записываем уравнения Эйлера:

Первое уравнение выполняется, если или . Но если на некотором отрезке из имеем , то из третьего уравнения следует и из остальных уравнений получаем , т.е. оптимальное управление оказывается нулевым на отрезке . Так как при этом выполняются условия , то управление следует положить равным нулю и па отрезке , иначе величина функционала лишь возрастет. На полуинтервале имеем . Но это значит, что и , т. е. оптимальное управление на­ходится на границе области допустимых управлений и может перехо­дить с одной границы на другую. Если управление искать только в классе непрерывных функций, то следует принять, что или . Однако нетрудно убедиться, что ни одно из этих управлений не позволит удовлетворять конечные условия при начальных . Поэтому оптимальное управление может быть только разрывным и переходить в точках разрыва с одной границы на другую. Однако число переходов и моменты перехода установить не удается.

Таким образом, можем сделать ряд выводов о применимости методов классического вариационного исчисления к решению задач оптимального управления. Задачи опти­мального управления обладают рядом особенностей по сравнению с задачами вариационного исчисления.

1. Искомые управления принадлежат замкнутым областям допустимых управлений, поэтому могут совпадать с границами этих областей. Однако дать количественную оценку поведения управления на границе допустимой области вариационными средствами очень трудно. Это же относится и к переменным состояния.

2. Критерий оптимальности не зависит от , поэтому уравнения Эйлера по управлению не являются дифференциальными.

3. В задаче оптимального управления оптимальные управления ищутся в классе кусочно-непрерывных функций. Часто критерии оптимальности достигают минимума на управлениях, имеющих разрывы первого рода. Число и положение точек разрыва заранее неизвестны.

Все эти особенности задач оптимального управления приводят к тому, что применение ко многим из них методов классического вариационного исчисления, ориентированных на гладкие дифференцируемые функции, даже после надлежащей модернизации остается проблематичным. Поэтому для решения задач оптимального управления разработаны специальные методы, наиболее полно и рационально учитывающие специфику этих задач. Если же задача оптимального управления сформулирована так, что функция в составе критерия качества является дважды дифференцируемой, а управления и переменные состояния не достигают ограничений, задачу можно решать вариационными методами.