1.7. Течение в кольцевом зазоре при поступательном движении внутреннего цилиндра

Мышление является страданием.

Аристотель.

Вспомните того человека, который на вопрос, ради чего он так усердствует,

коль скоро его искусство не может стать достоянием многих, ответил:

«С меня довольно немногих. С меня довольно одного. С меня довольно ни одного».

Монтень

Задача возникает при нанесении на проволоку различных покрытий (лака, полимерной изоляции и т.п.). В этом технологическом процессе обычно требуется определить толщину наносимого покрытия, т.е. ее зависимость от условий нанесения.

Считаем радиальный зазор между поверхностью цилиндра и отверстия фильеры достаточно малым (hd), тогда течение в зазоре можно рассматривать как течение в плоской щели. Схема течения и система координат представлены на рис. 1.16. Ось х лежит на поверхности внутреннего цилиндра, ось у направлена в радиальном направлении. Начало координат соответствует сечению входа жидкости в зазор. Центральный

стержень движется в осевом направлении со скоростью V. Уравнение движения для течения вязкой жидкости в зазоре (как было указано выше, игнорируем кривизну канала):

.

Граничные условия задачи. Условие прилипания жидкости к поверхности движущегося стержня y=0, _x=V. Прилипание жидкости к неподвижной поверхности фильеры y=h, _x=0.

Двукратное интегрирование уравнения движения дает выражение для скорости (см. выше)

.

Постоянные интегрирования находим, используя граничные условия. Согласно второму граничному условию с₂=V. Первое граничное условие дает равенство

.

Откуда находим

.

Следовательно, профиль осевой скорости описывается параболой

.

Найдем толщину покрытия. Расход жидкости в кольцевом зазоре фильеры определяется интегралом

.

Но с другой стороны, расход наносимого покрытия на большом удалении от фильеры составляет

.

Откуда толщина наносимого покрытия

.

Здесь для упрощения, с учетом условия d>>h , в скобке приняли h=h_.

Если в полученное выражение подставить выражение для расхода в цилиндрической части канала, то получим следующую толщину покрытия:

.

При отсутствие давления в головке толщина покрытия составляет половину радиального зазора h_=h/2. Влияние градиента давления на профиль осевой скорости в зазоре показано на рис. 1.17. Так, при отсутствии избыточного давления в головке (безнапорное течение) профиль осевой скорости линеен. При наличии избыточного давления профиль выпуклый. Таким образом, с повышением давления в головке толщина наносимого покрытия h_ увеличивается.

Пример.

Найти толщину покрытия проволоки диаметром 1 мм. лаком. Диаметр отверстия фильеры 1,1 мм, вязкость лака 10^-2 Па^.с, скорость движения проволоки 0,1 м/с, давление на входе в фильеру 0,5 МПа, длина канала фильеры 5 мм..

Решение.

Используем расчетную формулу

.

Находим радиальный зазор между проволокой и фильерой

Подставим численные значения в формулу

.

Видно, что давление на входе сравнительно мало влияет на толщину покрытия.

Задачи.

1. С какой скоростью нужно перемещать проволоку в условиях рассмотренной задачи, чтобы толщина покрытия составила 0,1 мм?

2. Можно ли получить толщину покрытия меньше h/2?