29. Уравнение Шредингера. Квантование энергии частиц.

Ψ – функция характеризующая состояние микрочастицы.

m – масса частицы, i – мнимая единица, – оператор Лапласа

U – функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу.

Если силовое поле стационарно, то U не зависит явно от времени ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z), E - полная энергия частицы

– уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Квантование энергии частиц

Квадрат модуля ψ-функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объёма dV: dP=|ψ|²dV, P=; – условие нормировки.

ψ-функция должна быть однозначной, гладкой, непрерывной и конечной.

Потенциальная Яма

Частица движется вдоль оси X и движение ограничено x=0 и x=l

. Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями. В этой области U=0. Обозначим . Получим, . Решение уравнения имеет вид ; ; , kl= ± πn, n=1,2,3,…

, n=1,2,3,… Спектр энергии дискретен

Вопрос 30. Частица в потенциальной яме.

Одномерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы  имеет вид ,

т.е. внутри ямы () потенциальная энергия постоянна и равна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность

Запишем уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль оси x

В силу непрерывности волновая функция должна обращаться в нуль и на границах ямы: при x=0 и при x=a. Таким образом, задача о движении частицы в яме сводится к решению уравнения

с граничными условиями

Введем обозначение

При этом уравнение (4.12) принимает вид хорошо известного из теории колебаний уравнения решение которого есть (4.14)

Используя граничное условие , получаемоткуда следует, что , где m=0,1,2,.... без потери общности можно считать, что .

Второе граничное условие  приводит к соотношениюкоторое для выполняется при (4.15)

Подставляя (4.13) в (4.15) , приходим к выражению для полной энергии частицы, движущейся в потенциальной яме с непроницаемыми стенками

31.Атома водорода. Квантовые числа.

- потенциальная энергия электрона, r – расстояние от электрона до ядра.

Энергия , n=1,2,3,…

n – главное квантовое число, совпадает в номером уровня энергии, n=1,2,3,…

l – азимутное квантовое число, l=0,1,2,3,…,n-1

– момент импульса

m – магнитное квантовое число,

– проекция момента импульса на выбранное направление

, – спиновой момент

Принцип Паули

В одном атоме не может быть двух электронов с одинаковой совокупностью квантовых чисел

s - состояние

p - состояние

d - состояние

f – состояние, затем идут g,h и так далее уже по алфавиту

– число различных состояний

– 2 электрона – k - оболочка

– 8 электронов – L - оболочка

– 18 электронов – M - оболочка

– 32 электрона – N - оболочка

– 50 электронов – Q – оболочка

Для полностью заполненной электронной оболочки суммарный орбитальный и спиновый момент равен нулю. Свойства элемента зависят от количества электронов и их расположения.

слой	n	l	ml	ms	Оболочка
K	1	0	0	↑↓	K(1s)
L	2	0	0	↑↓	L1(2s)
			-1	↑↓
		1	0	↑↓	L2(2p)
			1	↑↓
M	3	0	0	↑↓	M1(3s)
		1	-1	↑↓	M2(3p)
			0
			1
		2	-2	↑↓	M3(3d)
			-1
			0
			1
			2