Приклади побудови економіко-математичних моделей економічних процесів та явищ

У даному розділі розглядається найпростіший тип задач. Як було з’ясовано раніше, такі задачі є статичними. В їх моделі використовують детерміновані дані та лінійні функції для опису взаємозв’язків між елементами. Розв’язок знаходиться на деякій неперервній множині. Наведемо кілька розглянутих вище типових задач математичного програмування, сформульованих у термінах лінійного програмування.

Задача визначення оптимального плану виробництва: для деякої виробничої системи (цеху, підприємства, галузі) необхідно визначити план випуску n видів продукції Х = (х1, х2, …, хn) за умови найкращого способу використання її наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяні m ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне оснащення тощо. Відомі загальні запаси ресурсів , норми витрат і-го ресурсу на виробництво одиниці j-ої продукції та прибуток з одиниці j-ої реалізованої продукції .

Критерій оптимальності: максимум прибутку.

Позначимо через х1, х2, …, хn обсяги виробництва відповідно першого, другого і т. д. видів продукції.

Оскільки на одиницю продукції 1-го виду витрачається ресурсу першого виду, то на виробництво першого виду продукції обсягом х1 необхідно витратити а11х1 цього ресурсу. На другий вид продукції обсягом х2 витрати першого ресурсу дорівнюватимуть а12х2 і т. д. На виробництво всіх видів продукції буде використано такий обсяг першого ресурсу: а11х1 + а12х2 + … + + а1nxn. Ця величина має не перевищувати наявного обсягу першого ресурсу — b1. Отже, обмеження щодо використання першого ресурсу матиме вигляд: а11х1 + а12х2 + … + а1nxn ≤ b1. Аналогічно записують обмеження стосовно використання всіх інших виробничих ресурсів. Прибуток від реалізації виготовленої продукції всіх видів становитиме: с1х1 + с2х2 + … + сnxn.

Загалом лінійна економіко-математична модель даної задачі матиме вигляд:

за умов:

.

Математична модель виробничої задачі може бути застосована для різних економічних задач, де виникає проблема вибору найкращого варіанта розподілу обмеженої кількості ресурсів, хоча з першого погляду може здаватися, що постановка задачі не стосується виробничих процесів. Наведемо кілька конкретних прикладів виробничих задач.

Фірма має 1 млн грн обігових коштів. Відомі витрати грошей у кожному місяці, а також обов’язкові залишки обігових коштів на кінець кожного місяця. Також передбачається, що для успішного функціонування фірма витрачатиме значно меншу суму, ніж 1 млн грн. Отже, решту коштів можна надавати у кредит. Необхідно визначити оптимальний розподіл обігових коштів протягом кварталу для досягнення максимального прибутку за процентними ставками, якщо відомі витрати та потреби в резервах:

1.01 —31.01: витрати — 80 000 грн; необхідний запас на 31.01 — 300 000 грн;

1.02 —28.02: витрати — 30 000 грн; необхідний запас на 28.02 — 200 000 грн;

1.03 —31.03: витрати — 50 000 грн; необхідний запас на 31.03 — 190 000 грн.

Кредит терміном на 1 місяць дає 2 % прибутку, терміном на 2 місяці — 5 %, а терміном на 3 місяці — 8 %.

Вважатимемо, що кредити надаються першого числа кожного місяця і погашаються також першого числа відповідного місяця.