
информ.лаба №8. 1 курс .игхту
.docxЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8.
вариант № 4
«АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ В ВИДЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Задание: Локализовать наименьший положительный корень уравнения 4x 5ln x 5 0 и уточнить его значение с точностью до ε=0,0001 двумя методами.
1. методом половинного деления
2. методом комбинированным: хорд и касательных.
Теоретическое введение
-
Уточнение корней методом половинного деления
Пусть корень
уравнения
отделен на отрезке [a,
b],
т.е. f(a)f(b)<0
и f
’(x)
сохраняет знак (рис. 2.6.).
В качестве начального
приближения корня возьмем точку c0
– середину отрезка:
.
Если f(с0)=0,
то c0
– искомый корень уравнения, если
,
то из двух отрезков [a,
c0]
и [c0,
b]
выбираем тот, на концах которого функция
принимает значение разных знаков.
Новый отрезок опять делим пополам и далее поступаем аналогично вышеизложенному. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего отрезка, т.е. за n шагов сократится в 2n раз.
Вычисления
прекращаем, если длина отрезка
станет меньше заданной погрешности
,
т.е.
.
-
Комбинированный метод хорд и касательных
Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.
Пусть дано уравнение f(x)=0, корень отделен на отрезке [a, b].
Рассмотрим случай, когда f ‘(x) f ’’(x)>0 (рис. 2.13)
В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b).
Тогда вычисления следует проводить по формулам:
;
.
Теперь корень ξ заключен в интервале [a1, b1].
Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим:
;
и т.д.
;
(2.6)
;
.
Вычислительный
процесс прекращается, как только
.
Выполнение работы
-
Локализация корня
Определим графически корень уравнения, для этого построим график функции y=4x 5ln x 5
Из графика следует , что корень находится на отрезке [0,5;1]
2. Метод половинного деления
1-ая итерация
А= 0,5
Б=1
>0.0001
cледовотельно
точность не достигнута, и необходимо
продолжить расчеты
так как f(a)*F(c)<0 то следующий интервал для расчетов (0,5;0,75)
2-я итерация
А= 0,5
Б=0,75
>0.0001
cледовотельно
точность не достигнута, и необходимо
продолжить расчеты
так как f(a)*F(c)<0 то следующий интервал для расчетов (0,5;0,625)
3-я итерация
А= 0,5
Б=0,625
>0.0001
=>точность не достигнута, и необходимо
продолжить расчеты
так как f(a)*F(c)<0 то следующий интервал для расчетов (0,5;0,5625)
Ответ:
х=0,58960,0001
-
Метод комбинированный: хорд и касательных.
(метод касательных)
(метод хорд)
Ответ:x=0,58960,0001