§35. Центральная предельная теорема.

Случайная величина X называется центрированной и нормированной, если ее математическое ожидание равно нулю, а дисперсия – единице.

Любую случайную величину X с конечной дисперсией и математическим ожиданием можно центрировать и нормировать с помощью операции

Теорема 8 (Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых). Пусть случайные величины взаимно независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание и дисперсию , . Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих случайных величин стремится при к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

Из отношения (5.13) следует, что при достаточно большом n сумма приближенно распределена по нормальному закону: ~. Это означает, что сумма приближенно распределена по нормальному закону: ~. Говорят, что при случайная величина асимптотически нормальна.

Примеры:

1. Ошибка измерения распределена нормально, так как является суммой большого числа малых ошибок, проистекающих из колебаний параметров среды (температура, влажность, давление и т.д.), колебаний измерительного инструмента, состояния измеряющего субъекта и т.д.

2. По аналогичным причинам распределены нормально координаты точки падения снаряда.

3. Нормально распределена шумовая помеха в управляющем устройстве.

Формула (5.13) позволяет при больших n вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами случайных величин. С её помощью можно получить формулу для определения вероятности того, что сумма нескольких случайных величин окажется в заданных пределах:

Пример 67. Независимые случайные величины распределены равномерно на отрезке [0, 1]. Найти закон распределения случайной величины , а так же вероятность того, что .

Решение: Условия центральной предельно теоремы наблюдаются, поэтому случайная величина Y имеет приближенно плотность распределения . Найдем математическое ожидание и дисперсию в случае равномерного распределения по формулам (3.37): , , . Тогда , , . Поэтому

. Используя формулу (5.14) находим .

§35. Интегральная теорема Муавра - Лапласа.

Пусть - число появлений события A в n независимых испытаниях по схеме Бернулли, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью . Тогда для любых a и b, , имеет место предельное соотношение

Функция – функция Лапласа (3.43).

Интегральная теорема Муавра – Лапласа является следствием центральной предельной теоремы, хотя была доказана ранее независимо.

На ней основана интегральная приближенная формула Муавра – Лапласа, применяемая для подсчета сумм биноминальных вероятностей:

Что вытекает из формул (2.21) и (3.44): .

Формула (5.16) применяется при больших n и малых p, таких, чтобы число было средним – в пределах таблицы значений аргумента для функции Лапласа, то есть в пределах от 0 до 5.

Пример 68. По каналу связи передано символов. Вероятность искажения каждого символа помехами . Действие помех на каждый символ происходит независимо. Какова вероятность, что при передаче будет не более 15 искажений?

Решение: Так как , то . Применяем формулу (5.16): .

8