4. Основні правила одержання тавтологій

Теорема 2.2 (правило висновку). Якщо формули F і F Н є тавтологіями, то формула Н також є тавтологією. Іншими словами, із ╞ F і ╞ FH випливає ╞ H.

Доведення. Нехай ╞ F (, ...,„) і ╞ F (, ...,„)H (, ...,). Покладемо, що формула H (, ...,) не є тавтологією. Це означає, що існують такі конкретні висловлення , ...,, що . Оскільки F (, ...,)  тавтологія, то для , ...,, маємо . Далі маємо:

,

що суперечить тотожній істинності формули F Н. Отже, припущення, що H (, ...,) не є тавтологією неправильне. Звідси одержуємо: ╞ Н, що й потрібно було довести.

Правило висновку називається також правилом “модус поненс”

Друге правило одержання тавтологій має назву правила підстановки. Нехай у формулі F міститься пропозиційна змінна X ,і H  довільна формула. Якщо в формулу F замість символу X всюди, де вона входить в F, вставити формулу Н, то одержимо нову формулу. Вона позначається й називається формулою, одержаною з F в результаті підстановки в неї формули Н замість пропозиційної змінної X. Наприклад, якщо в формулу замість змінної Y підставити формулу (), то одержимо .

Теорема 2.3 (правило підстановки). Якщо формула F, що містить пропозиційну змінну X, є тавтологією, то підстановка в формулу F замість змінної X будь-якої формули Н знову приводить до тавтології. Іншими словами, із ╞ F випливає ╞ .

Доведення безпосередньо випливає із означення тавтології. Так як ╞ F(X,Y,...), то формула F(Х, Y,...) перетворюється в істинне висловлення при підстановці замість всіх пропозиційних змінних X, Y, ... довільних конкретних висловлень. Істинність одержуваного висловлення не залежить від структури висловлень, які підставляються заміст змінних X, Y, ... .

Зауваження. Кожна із пропозиційних змінних у даних формулах може розглядатися не як змінна, а як довільна формула алгебри висловлень. Наприклад, тавтологія виду ╞ , де  довільні формули алгебри висловлень.

Розглянуті два правила утворення тавтологій будемо називати основними.