3.3. Связь между тензорами напряжений и деформаций. Обобщенный закон Гука

Зависимости между напряжениями и деформациями носят физический характер. Ограничиваясь малыми деформациями, связь между напряжениями и деформациями можно считать линейной.

При испытании стержня на растяжение (о механических испытаниях материалов будет подробно рассказано в следующем разделе) установлена пропорциональная зависимость между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном направлении, которая называется законом Гука:

(3.12)

где упругая постоянная называется модулем продольной упругости.

Тем же экспериментальным путем установлена связь между линейными деформациями в продольном и поперечном направлениях:

(3.13)

где — линейная деформация в поперечном направлении, — вторая упругая постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.

При механических испытаниях на чистый сдвиг установлена прямо пропорциональная зависимость между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения, которая получила название закона Гука при сдвиге:

(3.14)

где величина является третьей упругой постоянной и называется модулем сдвига. Однако эта упругая постоянная не является независимой, т.к. связана с первыми двумя зависимостью

(3.15)

Чтобы установить зависимости между деформациями и напряжениями, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (рис.3.1) и рассмотрим действие только нормальных напряжений Разницей напряжений на противоположных гранях параллелепипеда можно пренебречь, т.к. она приводит к деформациям более высокого порядка малости.

Определим удлинение ребра параллельного напряжению При действии этого напряжения согласно закону Гука (3.12) произойдет относительное удлинение ребра

Напряжение вызывает аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру

а в направлении ребра — укорочение, которое согласно (3.13) составляет

или, с учетом выражения деформации

Аналогично определяется относительное укорочение ребра при действии напряжения

На основании принципа независимости действия сил полное относительное удлинение ребра можно определить как сумму удлинений от действия каждого напряжения:

или

Аналогично можно определить линейные деформации по направлениям двух других осей:

 

В соответствии с законом Гука при сдвиге (3.14) связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями можно представить независимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:

Таким образом, получены шесть формул, которые выражают линейную зависимость между составляющими деформации и напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука:

(3.16)

 

 

НАЗАД                      НА ОГЛАВЛЕНИЕ