- •3. Напряженное и деформированное состояния упругого тела. Связь между напряжениями и деформациями
- •3.1. Понятие о напряжении тела в данной точке. Нормальные и касательные напряжения
- •3.2. Перемещения и деформации. Тензор деформаций
- •3.3. Связь между тензорами напряжений и деформаций. Обобщенный закон Гука
3.2. Перемещения и деформации. Тензор деформаций
Под действием внешних нагрузок упругое тело изменяет свою форму, деформируется. При этом точки тела принимают какое-то новое положение. Для определения деформации упругого тела сравним положения точек тела до и после приложения нагрузки.
Рассмотрим точку ненагруженного тела и ее новое положение после приложения нагрузки. Вектор называется вектором перемещения точки (рис.3.2).
Рис.3.2. Вектор перемещения точки
Возможны два вида перемещений: перемещение всего тела как единого целого без деформирования — такие перемещения изучает теоретическая механика как перемещения абсолютно твердого тела, и перемещение, связанное с деформацией тела — такие перемещения изучает теория упругости.
Обозначим проекции вектора перемещения точки на координатные оси через соответственно. Они равны разности соответствующих координат точек и :
|
и являются функциями координат:
|
Деформирование тела вызвано разницей в перемещениях различных его точек. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами вырезанный из упругого тела около произвольной точки , вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.
На рис.3.3 показаны два ребра этого параллелепипеда: и длина ребра равна а ребра —
Рис.3.3. Линейные и угловые деформации
После деформации точки принимают положение При этом точка получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и Точка отстоящая от точки на бесконечно малом расстоянии получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты
|
Составляющие перемещения точки будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за счет изменения координаты
|
Длина проекции ребра на ось после деформации:
|
(3.5) |
Проекция абсолютного удлинения ребра на ось
|
Относительное удлинение вдоль оси
|
(3.6) |
называется линейной деформацией по направлению оси .
Аналогично определяются линейные деформации по направлениям осей и
|
(3.7) |
Рассмотрим изменение углов между ребрами параллелепипеда (рис.3.3). Тангенс угла поворота ребра в плоскости
|
Вследствие малости деформаций а линейной деформацией можно пренебречь ввиду ее малости по сравнению с единицей, и тогда
|
Аналогичным образом можно определить угол поворота ребра в той же плоскости:
|
Искажение прямого угла называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :
|
(3.8) |
Таким же образом определяются угловые деформации в двух других координатных плоскостях:
|
(3.9) |
Формулы (3.6)-(3.9) дают шесть основных зависимостей для линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти зависимости называются уравнениями Коши:
|
(3.10)
|
В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, соотношения Коши определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки
Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения, а отрицательным — укорочения. Угол сдвига считается положительным при уменьшении угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей и отрицательным — в противном случае.
Аналогично тензору напряжений, деформированное состояние тела в данной точке описывается тензором деформаций
|
(3.11) |
Как и тензор напряжений, тензор деформаций является симметричной матрицей, которая содержит девять компонентов, шесть из которых являются различными.
НАЗАД НА ОГЛАВЛЕНИЕ ДАЛЕЕ