1) Сложение по правилам полиномиальной арифметики по модулю 2 (crc-арифметика), будет выполнено так (нет переносов):

	11111011
+	11001010
	00110001

Правила сложения:

0+0 = 0;

0+1 = 1;

1+0 = 1;

1+1 = 0.

2) Операция вычитания:

	11111011
-	11001010
	00110001

Правила выполнения вычитания в арифметике с отсутствием переносов:

0-0=0;

0-1=1;

1-0=1;

1-1=0.

Две операции CRC-арифметики (сложение и вычитание) идентичны и по принципу формирования результата они аналогичны команде ассемблера XOR.

Умножение в арифметике с отсутствием переносов также выполняется с учетом особенностей CRC-сложения:

			1101
		x	1011 -------
			1101
			1101
			0000
			1101
			---------------
1111111

При этом, в самом умножении особенностей нет, а вот сложение промежуточных результатов производится по правилам CRC-сложения.

Лекция №13. Прямой алгоритм вычисления CRC. Встроенный ассемблер.

Так как CRC-код – это по сути остаток от деления исходной последовательности на некоторое двоичное число.

CRC деление.

При делении необходимо ввести в рассмотрение понятие «слабое понятие размерности»: число X больше или равно числу Y, если оба числа имеют одинаковую размерность и позиции их старших битов единичны, то есть соотношение остальных битов X и Y для операции сравнения не имеет значения.

Рассмотрим обычное деление (по правилам двоичной арифметики с циклическим переносом) рис. 8;

Рис. 8. Схема вычисления двоичного деления (с циклическим переносом)

CRC-деление (рис. 9).

Рис. 9. Схема вычисления CRC-деления

Снос двоичных разрядов при CRC делении из делимого продолжается до тех пор, пока размерности промежуточного битового значения и делителя не сравняются, а их старшие разряды не станут равными 1. После этого над двоичными разрядами выполняется побитовое CRC-вычитание.

При вычитании соотношение разрядов не важно, главное — это одинаковая размерность и единичные старшие биты. В этом случае считается, что вычитаемое меньше уменьшаемого. Это и есть проявление слабого понятия размерности.

Частное для процесса вычисления CRC-кода не имеет никакого значения.

Реальные двоичные последовательности являются результатом сцепления большого количества отдельных байтов (символов), образуя одно большое двоичное число.

В терминах полиномиальной арифметики исходное двоичное число называется полиномом данных (сообщения) и обозначается как D(x).

В алгоритме вычисления CRC вводится еще несколько полиномов и соотношений между ними:

• порождающий полином G(x) — предварительно особым образом выбранный полином, на который делится исходный полином сообщения;

• полином-частное Q(x) — полином, получившийся в качестве частного от деления полиномов D(x)/G(x);

• полином-остаток R(x) — полином, получившийся в качестве остатка от деления полиномов D(x)/G(x). Полином-остаток R(x) называется CRC (Cyclic Redundancy Code).

Между перечисленными полиномами существуют следующие отношения:

D(x)=Q(x)*G(x)+R(x), Q(x)=(D(x)-R(x))/G(x).

D(x)=Q(x)*G(x)+R(x);

Выбор делителя G(x)

При выборе делителя G(x) должны учитываться следующие свойства:

• Число разрядов (количество членов) в полиноме-остатке R(x) непосредственно определяется длиной самого порождающего полинома G(x). Выбор G(x) длиной n гарантирует, что полином-остаток от деления R(x) будет иметь разрядность не более, чем n-1.

• Способность порождающего полинома G(x) к выявлению ошибок, специфичных для передачи данных по каналами связи. Это такие ошибки, как ошибки в одном, двух, нечетном количестве битов, а также ошибки блока битов.

Для большинства алгоритмов вычисления CRC значение порождающего полинома известно и утверждено соответствующими стандартами. Определять новое значение порождающего полинома G(x) нет необходимости.

Значения некоторых известных полиномов, используемых на практике.

• x¹⁶+х¹²+х⁵+х⁰ (1 0001 0000 0010 0001b) — полином 1021h, используемый в протоколе XMODEM и производных от него протоколах передачи данных. Он стандартизован в спецификации V.41 МККТТ «Кодонезависимая система контроля ошибок».

• х¹⁶+х¹⁵+х²+х⁰ (1 1000 0000 0000 0101b)— полином 8005h, используемый в протоколе двоичной синхронной передачи фирмы IBM. Он также стандартизован. Этот полином широко известен как полином, используемый в алгоритме вычисления CRC — CRC16.

• x³²+x²⁶+x²³+x²²+x¹⁶+x¹²+x¹¹+x¹⁰+x⁹+x⁷+x⁵+x⁴+x²+x¹+x⁰

(1 0000 0100 1100 0001 0001 1110 1011 0111b) – полином 04C1 1EB7h, используемый в алгоритме вычисления CRC — CRC32 и также стандартизованный в стандарте V.42 МККТТ. Этот полином, в частности, используется в технологии локальных вычислительных сетей Ethernet.

• x³²+x³¹+x³⁰+x²⁹+x²⁷+x²⁶+x²⁴+x²³+x²¹+x²⁰+х¹⁹+х¹⁵+х⁹+х⁸+х⁵. (1 1110 1101 1011 1000 1000 0011 0010 0000b=EDB8 8320) Данный полином используют различные архиваторы.

Степень полинома – номер позиции его старшего единичного бита (считая с нуля). Например, для полинома 1011 степень равна 3.

Прямой алгоритм вычисления CRC

CRC-алгоритм удобно рассматривать с точки зрения двух сторон-участников процесса: источника и приемника. Действия источника следующие:

1. Выбрать полином G, в результате автоматически становится известной его степень N.

2. Добавить к исходной двоичной последовательности N нулевых битов. Это добавление делается для гарантированной обработки всех битов исходной последовательности.

3. Выполнить деление дополненной N нулями исходной строки S на полином G по правилам CRC-арифметики. Запомнить остаток, который и будет являться CRC.

4. Сформировать окончательное сообщение, которое будет состоять из двух частей: собственно сообщения и добавленного в его конец значения CRC. Длина присоединяемого к исходной последовательности значения CRC должна быть равна степени полинома, даже если CRC имеет ведущие нули.

Например: имеем исходную последовательность 1101001110010110100 (см. рис. 10). Окончательная последовательность на стороне источника будет выглядеть так (рис. 10):

Рис. 10. Схема формирования выходного сообщения из исходного с использованием CRC-алгоритма.

На стороне приёмника:

1) Выполняется CRC-деление полученной последовательности на полином и анализируется остаток.

2) Если остаток от деления нулевой, то исходная последовательность не была нарушена во время передачи. В противном случае - нарушена.

Для компьютерной реализации алгоритмов вычисления CRC выбирают полиномы со степенями, кратными 8 (то есть размерности регистров) — 8, 16, 24, 32 или 64. Пример: в качестве полинома выберем полином 4003h.

Cтепень полинома определяет размерность регистра, используемого в алгоритме, при этом считается, что старший (всегда единичный) бит полинома находится сразу за левой границей регистра.

Программа реализации прямого алгоритма вычисления CRC функционирует следующим образом:

А) в регистр побитно вдвигаются биты исходной строки (рис. 11). Это происходит до тех пор, пока при очередном сдвиге слева появится единичный бит.

Б) при появлении в 31 бите регистра еах единицы все содержимое регистра подвергается операции XOR со значением полинома без старшего бита. Результат операции XOR записывается в еах.

В) процесс сдвига и анализа выдвигаемого бита продолжается до тех пор, пока не будет выдвинут очередной единичный бит, и повторяется пункт (б).

Г) если последний бит данных вдвинут в регистр, в него вдвигается количество нулевых битов, равное степени полинома и повторяется алгоритм начиная с пункта (б).

Д) в результате в регистре остается значение CRC, которое необходимо добавить к исходной строке и передать приемнику.

Рис. 11. Схема вычисления значения CRC прямым алгоритмом

В результате вычисления CRC символьной последовательности "6476с8" получим CRC 35dah.

Самостоятельно на практике: Разработать программу, которая бы вычисляла с помощью прямого алгоритма вычисления CRC значение CRC-кода для входной последовательности, состоящей из 24 бит.

Встроенный ассемблер

Стыковка ассемблера с языками высокого уровня основывается на трех китах: