- •Математический анализ первый семестр часть 1
- •0).Молитвы
- •1). Элементы Мат. Логики
- •2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
- •3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
- •4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
- •5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
- •6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип точной верхней грани.
- •7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.
- •8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.
- •9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
- •10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.
- •11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.
- •13). Предел и арифметические операции.
- •14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.
- •15). Число е
- •16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
- •17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
- •19). Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •20). Сходимость и частичные пределы.
- •Для заметок
17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
Подпоследоватедьности ОПОЕДЕЛЕНИЕ: Пусть {x n } - последовательность {n k } - возрастающая последовательность натуральных чисел Тогда {x n k } подпоследовательность {x n } Пример: n k = 2k
x n k = |
|
- подпоследовательнлсть |
Замечание: n k ∈ N, n k строго возрастает ⇒ n k ≥ k ДОК-ВО По принципу математическлй индукции База: n 1 ≥ 1 Шаг: пусть n k ≥ k n (k + 1) > n k ≥ k n (k + 1) > k ⇒ n k + 1 ≥ k + 1 Ч.Т.Д.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Частичным пределом последовательности называется предел её подпоследовательности т.е. если {x n } - последовательность и {x n k } - её сходящаяся подпоследовательность lim x n k - частичный предел для {x n } Пример:
x n = |
|
x n k = |
|
→ 0 |
число "0" - частичный предел для {x n }
18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
ТЕОРЕМА:
Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.
ДОК-ВО: Рассмотрим Е = (x n : n ∈ N) - множество значений последовательности Т.к.{x n } - огр. ⇒ Е - ограничено а) Е - конечное (состоит из конечного числа элементов ⇒ некоторый элемент из Е (пусть это число с) встретится в {x n } бесконечно много раз. ⇒ есть подпоследовательность (постоянная !), которая сходится б)
|
(ППТ) ⇒ |
у множества Е есть хотябы одна предельная точка (пусть это - С) Построим подпоследовательность {x n } - сходится к С Тогда в любой окрестности С бесконечно много точек из Е ε = 1 В интервале U (C - 1, C + 1) бесконечно много точек из Е
Выберем n так, что x n ∈ U
ε = |
|
, значит |
U 1/2 = (C - |
|
, C + |
|
) |
там бесконечно много точек из Е Выберем n 2 так, что n 2 > n 1 , и l n 2 ∈ U 1/2
ε = |
|
выберем x n > n 2 так, что x n 3 ∈ Ux 3 = (C - |
|
, C + |
|
и т. д. С
Т.о. написали последовательночть n k + 1 > n k
x n k ∈ Ux k = (C - |
|
, C + |
|
), |
т.е. C - |
|
< x n k < C + |
|
⇒ C - частичный предел Ч.Т.Д. |