![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математический анализ первый семестр часть 1
- •0).Молитвы
- •1). Элементы Мат. Логики
- •2). Множества и операции над ними. Правила Моргана.
- •3). Функции (отображения): инъективные, сюръективные, биективные. Обратная функция.
- •4).Аксиоматика r. Аксиома полноты.
- •5). Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неограниченность n . Аксиома Архимеда.
- •6). Ограниченные сверху( снизу) множества. Верхняя (нижняя)граница. Верхняя (нижняя) Грань. Принцип точной верхней грани.
- •7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.
- •8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.
- •9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
- •10). Предел последовательности. Связь с бесконечно малыми.
- •11). Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •12).Предел и неравенства. Лемма о двух милиционерах.
- •13). Предел и арифметические операции.
- •14).Монотонные последовательности. Критерий монотонной сходимости.
- •15). Число е
- •16). Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.
- •17). Подпоследовательности и частичные пределы. Сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности.
- •18). Существование частичного предела у ограниченной последовательности.
- •19). Верхний и нижний пределы, их свойства.
- •20). Сходимость и частичные пределы.
- •Для заметок
7). Вложенные отрезки. Принцип вложенных отрезков.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Последовательность элементов из множества х называется отображение из N в х
Последовательность
Элемент
обозначает
{}
– последовательность
ОПРЕДЕЛЕНРИЕ:
Пусть {En}
– последовательность множеств. Эта
последовательность называется
последовательностью вложенных множеств,
если
(т.е.
)
ТЕОРЕМА (Принцип вложенных отрезков).
Пусть {In} – последовательность вложенных отрезков
1).
Тогда все эти отрезки имеют общую точку,
т.е.
,
что
2). Если в этой последовательности {In}есть отрезки сколь угодно малой длинны, то такая точка единственна.
ДОК-ВО:
Пусть
;
A
– множество левых концов
В
– множество правых концов
Тогда:
Множество А левее В (т.е.
)
От
противного: Пусть для некоторых
n
и m
.
an bm an bn
не пересекаются – противоречит
вложенности
Т.к.
А0,
В
0,
то по аксиоме полноты существует С,
разделяющее А и В (т.е.
,
)
т.е.
Значит
С – общая для всех отрезков.
Пусть
С1
и С2
От
противного: Пусть
и
In
an C1 C2 bn
C1,
С2;
|In|
- длина
In=bn-an
Т.е.
длины всех In
числа С2-С1>0
Что противоречит предложению последовательности если отрезки сколь угодно малой длинны.
С1>C2 аналогично
Единственность общей точки доказана.
8). Предельная точка множества. Принцип предельной точки.
ОПР:
ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ
называется любой интервал. Содержащий
точку
(т.е.
- окрестность
)
-
окрестность точки
-
проколотая окрестность (точка а не
входит)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
: Точка
называется предельной точкой для
если в любой её окрестности содержится
бесконечно много точек из Е (Для конечных
множеств)
ТЕОРЕМА (принцип предельной точки)
Для любого бесконечного ограниченного множества Е существует хотя бы одна предельная точка.
ДОК-ВО:
1).
Е ограничено тогда и только тогда, когда
существует верхняя граница (С2),
существует нижняя граница (С1) Т.е.
Е
С1 С2
Это
означает, что
От
противного: Пусть нет предельных точек
на Е. Тогда
не предельная для Е
Т.е.
для
при х в в которой содержитсяконечное
число точек из Е.
Рассмотрим
систему интервалов
Эта система – покрытия
(т.к.
)
(По принципу конечного покрытия)
Существует
конечное подпокрытие этого покрытия
Но
в каждом
конечное
числог точек из Е. Значит все вместе
покрывают конечное число точек из Е
НО
покрывает
в
- конечное число точек.
Противоречие. Теорема доказана.
9). Покрытия и подпокрытия. Принцип конечного покрытия.
Система x={S} множеств называется покрытием множества Е тогда и только тогда, когда Е содержится в объединении множеств этой системы.
КОНЕЧНОЕ ПОКРЫТИЕ состоит из конечного числа множеств
ПОДПОКРЫТИЕ покрытия S – это подсистема системы S, являющиеся покрытием.
ТЕОРЕМА (Принцип конечного покрытия)
Из всякого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие.
ДОК_ВО:
Пусть
-
покрытие
От противного
Пусть нельзя выделить конечное подпокрытие
Разделим
пополам, тогда одну из его половин нельзя
покрыть конечным числом интервалов
системы;
Обозначим
его через
.
Разделим и его пополам и т.д..
Получили
последовательность отрезков
,
каждый из которых нельзя покрыть конечным
числом интервалов системы.
Эта
система вложенных отрезков. (Принцип
вложенных отрезков)
Тогда
но
- покрытие
интервал
этой системы, покрывающий точку С
α<C<β
По
неравенству Бернулли
При достаточно больших
Т.е.
покрывает одним интервалом системы.
ПРОТИВОРЕЧИЕ. Теорема доказана