Задачи на геометрическое определение вероятности
Задача 1: В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?
Решение:
По определению геометрической вероятности
искомая вероятность равна отношению
площади круга (в который точка должна
попасть) к площади прямоугольника (в
которой точка ставится), т.е.
Ответ:
0,353
Задача 2: Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?
Решение:
Обозначим за х и у время прихода, 0 ≤ х,
у ≤ 60 (минут). В прямоугольной системе
координат этому условию удовлетворяют
точки, лежащие внутри квадрата ОАВС.Друзья
встретятся, если между моментами их
прихода пройдет не более 5минут, то есть
y - x < 5, y >0,
x - y < 5, x > y.
Этим
неравенствам удовлетворяют точки,
лежащие в области G, очерченной красным.
Тогда
вероятность встречи равна отношению
площадей области G и квадрата, то
есть
Ответ:
0,16
|
Задачи на формулу Бернулли
Задача 1: Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Решение:
Имеем схему Бернулли с параметрами
p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор
выйдет из строя), n = 5 (число испытаний),
k = 5-3 =2 (число «успехов», неисправных
аккумуляторов). Будем использовать
формулу Бернулли (вероятность того,
что в n испытаниях событие произойдет
k раз).
Задача 2: Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент.
Решение:
Имеем схему Бернулли с параметрами p
= 0,2 (вероятность того, что элемент
откажет), n = 5 (число испытаний, то есть
число элементов), k (число «успехов»,
отказавших элементов). Будем использовать
формулу Бернулли (вероятность того,
что для n элементов отказ произойдет
в k элементах):
Задача 3: Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
Решение:
Наивероятнейшее число побед k
определяется из формулы
|
Получаем
Ответ:
0,0394.
Получаем
а)
-
вероятность того, что откажут ровно
три элемента из пяти.
б)
-
вероятность того, что откажут не менее
четырех элементов из пяти (то есть или
четыре, или пять).
в)
-
вероятность того, что откажет хотя бы
один элемент (нашли через вероятность
противоположного события - ни один
элемент не откажет).
Ответ:
0,0512; 0,00672; 0,67232.
Здесь
p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (вероятность
проигрыша), n - неизвестное число партий.
Подставляя данные значения,
получаем:
Получаем,
что n = 15, 16 или 17.
Ответ:
15, 16, 17.