5.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/BE4A2C092281FB98984E044611915B15.png" \* MERGEFORMATINET  называется дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения используют подстановку: INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/B8A858C9640D78EE8D3AB127E7A28D9E.png" \* MERGEFORMATINET  тогда INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/69CE05353418240CF907CADD71048784.png" \* MERGEFORMATINET  Сделав подстановку в исходное уравнение, выносят за скобки INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/76B484390F464DCB1533F38F718C9ED0.png" \* MERGEFORMATINET  и выражение, стоящее в скобках, приравнивают к нулю. Из полученного уравнения находят v. Остается решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Пример1: Общим решением уравнения  является … Решение: Сделаем подстановку , тогда . Подставим  в исходное уравнение, получим: . Вынесем  за скобки: . В силу произвольности выбора функции  найдем ее из условия . Тогда:   Проинтегрируем обе части уравнения: . Считая, что  получим , откуда . Осталось решить уравнение  Имеем:  . Окончательно получим  или

1.Для дифференциального уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/DD11854AF0F48FF0914BB5E362614AB2.png" \* MERGEFORMATINET  функцию INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/F4FF336C5EC2DD9EB631D53E4BC303F8.png" \* MERGEFORMATINET  находят из уравнения … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/F3C0C56F56E1EF40A9659226B1D174B3.png" \* MERGEFORMATINET

2.Для дифференциального уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/8143718DCADD2A0295FDB6DA2899E0D2.png" \* MERGEFORMATINET  функцию INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/D07826CE4CF6ED7053A4304EEE979D05.png" \* MERGEFORMATINET  находят из уравнения … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/03697C9729B7A5BC9AE7106A5EC1FB5F.png" \* MERGEFORMATINET
3.Общим решением уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/963B123AA0DBD27FF7720C9E81C91212.png" \* MERGEFORMATINET  является … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182421/919FB56CE72235DA545D31DFC363EFED.png" \* MERGEFORMATINET

6.Однородные дифференциальные уравнения

Если в дифференциальном уравнении INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/9E0530B421E9970E1F7F1EADC1432B2D.png" \* MERGEFORMATINET  функцию INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/78DA41D504041D222F8E3A55DBBDB080.png" \* MERGEFORMATINET  можно записать в виде INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/220958609A768A30AD53D9E7A9AC51E6.png" \* MERGEFORMATINET , то дифференциальное уравнение INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/A7A1DF611F241B7309015531A1BB82FA.png" \* MERGEFORMATINET  называется дифференциальным уравнением первого порядка с однородной правой частью. Подстановка INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/2B9BAC2FF7473FF13F1A89196707600C.png" \* MERGEFORMATINET  сводит решение этого уравнения к решению уравнения с разделяющимися переменными вида INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/86EE571B3B2108A2E7A48E533455AC56.png" \* MERGEFORMATINET

Пример1: Для однородного уравнения  соответствующее уравнение с разделяющимися переменными будет иметь вид …

Решение: Пусть  тогда  Подставив  и в данное уравнение, получим:  Последнее равенство можно переписать так: 

Пример 2: Общим решением однородного дифференциального уравненияявляется…

 Решение: Так как данное уравнение однородное, то сделаем подстановку  Тогда . Подставим  в исходное уравнение и выполним преобразования: Проинтегрируем обе части уравнения:  

Из подстановки следует, что  тогда ответ можно записать в виде  или   

1.Общим решением однородного дифференциального уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/9A01ECAD5D58CCDC121B8DC61F8DEEAC.png" \* MERGEFORMATINET  является … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/FAF16C16C4FD1B9E1ACB13FEA5F26075.png" \* MERGEFORMATINET

2.Общим решением однородного дифференциального уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/2C101B647E89F4B52A01C56E8249F268.png" \* MERGEFORMATINET  является … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/24E1C03A4DD5A773246C34C8D50C70B3.png" \* MERGEFORMATINET

3.Общим решением однородного дифференциального уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/33250325E9E8F77CE0301BF1A8B93DC4.png" \* MERGEFORMATINET  является … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/3606C28519095C241A434FDD91CF45E8.png" \* MERGEFORMATINET

 4.Для однородного уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/C3AFC05115AF4059537A485CE93DE129.png" \* MERGEFORMATINET  соответствующее уравнение с разделяющимися переменными будет иметь вид … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/251BDE003917CDC7B32DE3B6A626A5DB.png" \* MERGEFORMATINET

5.Для однородного уравнения INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/1F0A419D73248872420BBEA31A7376C0.png" \* MERGEFORMATINET  соответствующее уравнение с разделяющимися переменными будет иметь вид … INCLUDEPICTURE "http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182420/25A91396BB540D0773D2DB7434EE0F23.png" \* MERGEFORMATINET