2.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Решение:
Пример1:
Решением (общим интегралом) дифференциального
уравнения с разделяющимися
переменными 
является …
Решение:
Проинтегрируем
обе части уравнения: 
получим: 
где 
− любое
число.
Пример
2:
Решением (общим интегралом) дифференциального
уравнения с разделяющимися
переменными 
является …
Решение:
Так
как 
,
то получаем уравнение 
Данное
уравнение равносильно уравнению 
Тогда 
.
Получаем 
Ответ
можно записать так: 
1.Решением (общим
интегралом) дифференциального уравнения
с разделяющимися переменными
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/7D546B392DCABED74BEF2B018DD0BF3F.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/0C0A25667C782DCAF1241E56B0399942.png"
\* MERGEFORMATINET
|
|
|
|
|
2.Решением (общим
интегралом) дифференциального уравнения
с разделяющимися переменными
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/A8BE7D4E224D4849E459043F0F1A6CD5.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/888F6B8FEB2FDE80DD9725121264A62A.png"
\* MERGEFORMATINET
|
|
|
|
|
3.Решением (общим
интегралом) дифференциального уравнения
с разделяющимися переменными
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/96BE4F4743AEB6A7A0DFC25CE724CA70.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/2E36D546D1D173A111A6882AE64C0F74.png"
\* MERGEFORMATINET
|
|
|
|
|
4.Решением (общим
интегралом) дифференциального уравнения
с разделяющимися переменными
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/61CA807F042C10D5C4988319D44107BD.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
|
|
|
|
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182419/E435523D11678CD2D6B335A21F6613E6.png"
\* MERGEFORMATINET
|
|
3.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами |
||||||
|
Квадратное
уравнение
Решим
характеристическое уравнение.
составим таблицу, использование которой облегчает отыскание общего решения уравнения
Пример1:
Общим решением
дифференциального уравнения
Составим характеристическое
уравнение: Пример2: Решить дифференциальное уравнение
Решение. Составим
характеристическое уравнение этого
дифференциального уравнения:
Приме3:Составить
общее решение дифференциального
уравнения
Решение. Составим
характеристическое уравнение и найдем
его корни
|
||||||
|
1.Общим решением дифференциального уравнения
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182422/00BC322789710E23796AD0B490CDD7BD.png"
\* MERGEFORMATINET
|
, из которого определяется число k,
называется характеристическим
уравнением , для составления
характеристического уравнения
достаточно в дифференциальном уравнении
производные 
и 
заменить
на k и 
,
а функцию y на единицу.
.
является …
Его
корнями являются 
Значит,
общим решением дифференциального
уравнения будет
где 
–
любые числа.
.
.
Тогда 
и 
.
Общее решение данного дифференциального
уравнения составляем по формуле
(2): 
.
,
.
Тогда согласно
формуле (3) получаем общее решение
данного дифференциального уравнения 
.
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182422/6C1053834691B9ADD1C1A3C545D27F0E.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182422/D359162455ED895CE6F3663013F996E6.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182422/D964ABF1FCA16E9269ED4E7E4E2F7C21.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182422/01FC923574A061D8FCA5EF835D3DEB2F.png"
\* MERGEFORMATINET
|
4.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка |
|
|
|
Пример1:
Общим решением
дифференциального уравнения 
является …
Решение:
Можно
три раза проинтегрировать данное
уравнение, тогда 
. 
Учитывая
произвольность 
,
ответ можно записать в виде 
где 
–
любые числа.
Пример 2:
Общим решением
дифференциального уравнения 
является …
Решение:
Можно
два раза проинтегрировать данное
уравнение, тогда получим: 
1.Общим
решением дифференциального уравнения
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182423/72A615BB5D0FB163FFB462C74D5D5819.png"
\* MERGEFORMATINET
является …
|
|
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182423/0A530834E21D612D07C3414ABF8C2701.png"
\* MERGEFORMATINET
2.Общим
решением дифференциального уравнения
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182423/36301173B466BF625CFBB2DEE48B3BCE.png"
\* MERGEFORMATINET
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является …
INCLUDEPICTURE
"http://mypage.i-exam.ru/pic/1323_182423/88F494A0FEE5DA0309AD9D53048B205A.png"
\* MERGEFORMATINET
