Согласно теореме косинусов, получим:

где – разность фаз составляющих колебаний.

Подставив найденные значения φ₂ и φ₁, получим, что (рад), Подставив значения А₁, А₂, и Δφ, найдем, что

см.

Пример 15. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях во взаимно перпендикулярных направлениях. Колебания описываются уравнениями x= cos πt и y = cos t. Определить траекторию движения точки.

Решение. По условию задачи

x= cos πt ; y = cos t. (1)

Для определения траектории точки из выражений (1) исключаем понятие времени. Искомые уравнения имеют вид x= 2y²-1, или , и представляют собой параболу.

Пример 16. На концах тонкого стержня длиной =1 м и массой m=400 г укреплены шарики малых размеров массами m₁=200 г и m₂=300 г. Стержень колеблется вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной ему и проходящей через его середину (точка О, см. рисунок). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

m₁ Решение. Период колебаний физического маятника,

примером которого является стержень с шариками,

определяется по формуле

О , (1)

m₂

где I – момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – его масса; a – расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков I₁, I₂ и стержня I₃:

I= I₁+ I₂+ I_3. (2)

Приняв шарики за материальные точки, выразим моменты их инерций:

.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен I₃=. Подставив полученные выражения I₁, I₂, I₃ в формулу (2), найдем момент инерции физического маятника:

=.

Масса маятника состоит из масс шариков и стержня:

m = m₁ + m₂ + m₃ = 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 кг.

Если ось x направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, см. рисунок, то искомое расстояние «а» равно координате центра масс маятника, т.е.

Произведя расчет по формуле (1), найдем период колебаний физического маятника:

.

Пример 17. Один конец медной проволоки длиной =0,8 м, сечением 8 мм закреплен в подвесном устройстве, а к другому прикреплен груз массой m=400г. Вытянутую проволоку с грузом, отклонив до высоты подвеса, отпускают. Считая проволоку невесомой, определить ее удлинение в нижней точке траектории движения груза. Модуль Юнга для меди равен Е=118 ГПа.

Решение. Из закона Гука продольного растяжения

где – напряжение при упругой деформации; Е – модуль Юнга; – относительное продольное растяжение, получим

, (1)

где F – сила, растягивающая проволоку в нижней точке траектории груза, численно равная сумме величин силы тяжести груза и центростремительной силы, действующей на него,

, (2)

где v – скорость груза.

Согласно закону сохранения механической энергии

Подставив найденное отсюда выражение mv² в формулу (2), получим, что F=3mg. Тогда из выражения (1) следует, что искомое удлинение проволоки составляет