11. Закон сохранения импульса. Вывод.

    Основное уравнение динамики
    Из второго закона Ньютона:
    Тогда получим: -   второй закон Ньютона в импульсной  форме
    ( t = t - t0 = t  при t0 = 0).
    Импульс силы равен изменению импульса тела.  Вектора импульса силы и изменения импульса тела сонаправлены.
    Неупругий удар (шарик "прилипает" к стенке):
    Абсолютно упругий удар (шарик отскакивает с прежней по величине скоростью):
    Закон сохранения импульса. До взаимодействия
    После взаимодействия
    Согласно 3 з-ну Ньютона: , следовательно:

12. Закон сохранения механической энергии.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком: 

A = –(Eр2 – Eр1).

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел: 

Следовательно:

или

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = E_k + E_p называют полной механической энергией. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

11. Закон сохранения момента импульса.

1. Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему.         Поэтому , то есть

         или         

       Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.         Это один из фундаментальных законов природы. 

2. Рассмотрим произвольную систему частиц. Введем понятие момента импульса данной системы как векторную сумму моментов импульсов ее отдельных частиц:

     

,

(6.11)

     где все векторы определены относительно одной и той же точки O выбранной инерциальной системы отсчета. Заметим, что момент импульса системы - величина аддитивная. Это означает, что момент импульса системы равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

     Выясним, какая величина определяет изменение момента импульса системы. Для этого продифференцируем (6.11) по времени:

     

     В предыдущем параграфе было показано, что производная  равна моменту всех сил, действующих на  частицу. Приравняем эту производную сумме моментов внутренних и внешних сил, т. е. . Тогда

     

     Здесь первая сумма - это суммарный момент всех внутренних сил относительно точки O, вторая сумма - суммарный момент всех внешних сил относительно той же точки O.

     Покажем, что суммарный момент всех внутренних сил относительно любой точки равен нулю. По определению, внутренние силы - это силы взаимодействия между частицами данной системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга, и, значит, суммарный момент всех внутренних сил всегда равен нулю.

     В результате последнее уравнение принимает вид

     

,

(6.12)

     где  суммарный момент всех внешних сил.

     Уравнение (6.12) утверждает: производная момента импульса системы по времени равна суммарному моменту всех внешних сил. Разумеется, оба момента, и , здесь определены относительно одной и той же точки O инерциальной системы отсчета.

     Как и в случае одной частицы, из уравнения (6.12) следует, что приращение момента импульса системы за конечный промежуток времени

     

(6.13)

     т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу суммарного момента всех внешних сил за соответствующий промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента, и , определены относительно одной и той же точки О выбранной системы отсчета.

     Уравнения (6.12) и (6.13) справедливы в инерциальной системе отсчета. Для того, чтобы их можно было использовать и в неинерциальной системах отсчета нужно учитывать и действие сил инерции, играющих роль внешних сил, т. е. под  в этих уравнениях следует понимать сумму , где суммарный момент внешних сил взаимодействия - ,  - суммарный момент сил инерции относительно одной и той же точки О системы отсчета.

     В итоге получен важный вывод: согласно уравнению (6.12), момент импульса системы может изменяться только под действием суммарного момента всех внешних сил. Отсюда непосредственно вытекает и другой важный вывод - закон сохранения момента импульса: в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е, не меняется со временем. Причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета.

     Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент импульса замкнутой системы частиц