Критерий Коши сходимости последовательности:

Для сходимости последовательности необходимо и достаточно для всех ε>0 что бы существовал N такой, что при всех п> N_ε при всех .

Вопрос № 5 Теорема о единственности предела последовательности:

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предположим и . Для определённости положим .

Возьмём , тогда существует N₁ такой, что при всех п>N₁ выполняется и существует N₂ такой, что при всех п>N₂ выполняется

Пусть , тогда п>N. Одновременное выполнение и п>N₂, что невозможно даже при указанном ε ε-окрестность, так как а и в не пересекаются.

Полученное противоречие доказывает единственность предела.

Вопрос № 6 Теорема об ограниченности сходящейся последовательности:

Последовательность Х_п называется ограниченной, если существует точка М из R такая, что при всех п, а так же есть А>0 такая, что /

Последовательность х_п называется неограниченной, если для всех А>0 (сколько угодно больших) есть N такое, что .

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена:

Доказательство: для ε=1 есть N_ε такой, что при всех N>N_ε , тогда для п > N_ε: , то при всех п .

Вопрос № 7 Монотонные последовательности:

1. Монотонные последовательности.

2. Теорема о сходимости монотонной последовательности.

{x_n} называется возрастающей, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁<x₂, и не убывает, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁<=x₂

{x_n} называется убывающей, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁>x₂, и не убывает, если для всех п₁, п₂ таких, что п₁<п₂: х₁>=x₂

Теорема: Возрастающая последовательность ограничена сверху и имеет конечный предел. Убывающая последовательность ограничена снизу и имеет конечный предел.

Доказательство: (Возрастающая последовательность ограничена сверху и имеет конечный предел.): х_п1<x_n2 при любых п₁<п₂ и х_п<=М при любых п. По теореме об ограниченном множестве есть число , то есть х_п<=а, а так же для всех ε>0 найдётся N такой, что . Тогда при всех п>N , или , тогда при n>N , другими словами . (Убывающая последовательность ограничена снизу и имеет конечный предел): х_п1>x_n2 при любых п₁<п₂ и х_п>=m при любых п. По теореме об ограниченном множестве есть число, то есть х_п<=а, а так же для всех ε>0 найдётся N такой, что. Тогда при всех п>N –

Вопрос № 8 Бесконечно малые последовательности и их свойства:

Последовательность бесконечно малая, если для всех ε>0 найдётся N_ε такой, что при всех п> N_ε

Свойства бесконечно большой последовательности:

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей даёт бесконечно малую последовательность.

  • Пусть , тогда рассмотрим сумму этих двух последовательностей: По условию ε>0 найдётся N₁ такой, что всех п>N₁ и найдётся N₂ такой, что всех п>N₂

  • , тогда при всех п>N:

• Разность двух бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

  • Следствие: Алгебраическая сумма бесконечно малой величины – есть бесконечно малая величина.

• Бесконечно малая последовательность ограничена, так как являет собой частный случай сходящейся последовательности.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную – есть бесконечно малая последовательность

  • Пусть и при всех п: . Возьмём ε>0, тогда найдётся N_ε такой, что при всех п> N_ε . Оценим

    • Следствие: произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей – есть бесконечно малая последовательность.

• Если все элементы бесконечно малой последовательности одному и тому же С, то С=0.

• Если – бесконечно большая, то обратная к ней – бесконечно малая.

Вопрос № 9 Бесконечно большие последовательности и их свойства:

1. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

   1. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.

Последовательность бесконечно большая, если для всех А>0 найдётся N такой, что при всех п> N .

Свойства бесконечно малой последовательности:

• Сумма бесконечно больших последовательности одного знака – бесконечно большая последовательность.

• Разность даёт неопределённое выражение.

• Произведение двух бесконечно больших последовательностей – бесконечно большая последовательность.

• Отношение двух бесконечно больших последовательностей не определена.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями:

Действительно , однозначно для каждого ε>0 найдётся N_ε такой, что при всех п> N_ε

Вопрос № 10 Теорема об арифметических действиях над последовательностями, имеющими конечный предел:

тогда:

1. . Доказательство: – обозначим при п стремящемся к нулю. – обозначим при п стремящемся к нулю. Докажем, что – бесконечно мала: – бесконечно малая величина.

2. 

3. 

4. 

Вопрос № 11 Теоремы о переходе к пределу в неравенствах:

1. Пусть и при n>N . Доказательство: Предположим a<b, то есть b-a>0. Возьмём , для него существует N_ε такой, что при всех п> N_ε>=N: , или – противоречие показывает, что

2. Пусть и при n>N . Доказательство: Предположим a<b, то есть b-a<0. Возьмём , для него существует N_ε такой, что при всех п> N_ε>=N: , или – противоречие показывает, что

Следствия:

1. Пусть и для всех

2. Пусть и для всех

3. Пусть и для всех – сходится, и