Розв’язання типового варіанта

Контрольна робота № 1

1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.

Р озв’язання. а) .

Запишемо задане комплексне число у тригонометричній формі. У нашому випадку , тоді

,

.

Таким чином,

.

! Теоретичні відомості !

Показникова форма комплексного числа: .

Знаючи модуль та аргумент комплексного числа, запишемо показникову форму заданого числа:

.

б) .

Для заданого комплексного числа дійсна та уявна частина рівні відповідно , . Тоді

, .

Отже, .

в) .

! Теоретичні відомості !

Якщо дійсна частина комплексного числа дорівнює нулю, то таке число називається чисто уявним.

У даному випадку , а отже , . А таким чином,

.

Відповідь. а) .

б) .

в) .

2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.

Розв’язання. а) .

! Теоретичні відомості !

.

.

Н аведемо геометричну інтерпретацію:

б) .

! Теоретичні відомості !

Комплексне число називається спряженим до комплексного числа .

Щоб поділити два комплексних числа, потрібно ділене й дільник домножити на спряжене до дільника. Тобто

.

Г еометрична інтерпретація:

в) Знайти всі розв’язки рівняння .

! Теоретичні відомості !

Формула Муавра:

.

Спростимо:

.

Розглянемо комплексне число , тоді . Запишемо число у тригонометричній формі:

, ,

тобто . Звідси маємо, що

.

Або

,

, ,

, .

Відповідь. а) .

б) .

в)

3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).

Розв’язання. а) .

Нехай , тоді

, ,

, .

Отже задану нерівність можна переписати у вигляді:

.

Д ля від’ємних , тобто для , отримана нерівність виконується автоматично. Тому далі будемо розглядати випадок, коли Після спрощення маємо: . Отриману множину точок зобразимо на рисунку:

б)

З образимо на комплексній площині ті точки, аргумент яких , а уявна частина :

4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.

Розв’язання. Відомо, що якщо – корені квадратного рівняння , то вказане рівняння можна записати у вигляді . А отже звідси маємо, що шукане рівняння можна записати наступним чином:

.

Розкриємо дужки та виконаємо операції над комплексними числами:

,

.

Розв’яжемо отримане рівняння. Знайдемо дискримінант:

.

Корінь із дискримінанту будемо шукати у вигляді . Тобто

.

! Теоретичні відомості !

Два комплексні числа та називаються рівними, якщо у них рівні дійсні та умовні частини відповідно:

.

Таким чином, для знаходження невідомих значень та отримуємо систему:

розв’язавши яку, маємо, що або . Розглядаючи будь-яку з отриманих пар, наприклад першу, маємо, що , а отже

,

.

Відповідь. .

5. Записати дану тригонометричну функцію

а) у вигляді лінійної комбінації тригонометричних функцій кратних дуг;

б) через функції та .

Розв’язання. а) 1 спосіб.

! Теоретичні відомості !

Формули Ейлера:

, .

! Теоретичні відомості !

Біном Ньютона:

.

Зокрема:

, .

За формулою Ейлера , тоді

.

2 спосіб. Розглянемо комплексне число .

! Теоретичні відомості !

Для комплексного числа

, .

Тоді

.

! Теоретичні відомості !

Якщо комплексне число задане в тригонометричній формі , то для піднесення його до степеня треба модуль піднести до цього степеня, а аргумент помножити на показник степеня, тобто

.

Таким чином,

.

б) Розглянемо комплексне число . Піднесемо його до кубу. З одного боку, за формулою Муавра

.

Тобто . З іншого

.

Для отриманого виразу .

Отже,

.

Відповідь. а) .

б) .

Контрольна робота № 2