
- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Нехай задано рівняння четвертого степеня
.
Заміною
змінних
зведемо його до вигляду
.
Виділимо повний квадрат:
.
Підберемо
значення
так, щоб вираз
був повним квадратом. Для цього необхідно,
щоб дискримінант
дорівнював нулю.
Таким чином, задача зводиться до розв’язання кубічного рівняння
,
розв’язавши
яке ми зможемо знайти
,
й тим самим зможемо записати, що
або
.
Отже,
для знаходження
отримуємо сукупність рівнянь
Для
заданого рівняння
маємо, що
,
,
,
.
Робимо
заміну
,
тоді
.
Після спрощення отримуємо:
.
Перепишемо отримане рівняння у вигляді
.
Далі виділимо у лівій частині отриманої рівності повний квадрат:
або
.
У
лівій частині ще раз виділяємо повний
квадрат, уводячи у розгляд параметр
:
,
перепишемо отриману рівність наступним чином:
.
(*)
Обираємо
параметр
так, щоб права частина була повним
квадратом. Для цього необхідно і
достатньо, щоб дискримінант квадратного
тричлена
по
дорівнював нулю, тобто
.
Або, що теж саме,
.
Зауваження. Отримане рівняння називається кубічною резольвентою вихідного рівняння четвертого степеня.
Число
буде коренем цього кубічного рівняння
(корінь можна визначаємо в будь-який
спосіб. Ми скористалися способом
визначення раціональних коренів
многочлену, який описано в попередній
задачі). З урахуванням цього, рівняння
(*) перепишеться у вигляді:
,
.
Отримана рівність еквівалентна наступній сукупності:
Розв’язуємо квадратні рівняння
;
.
Повертаючись
до змінної
,
остаточно будемо мати, що
,
.
Відповідь.
,
.
Контрольна робота № 7
1. Відділити кратні корені многочлена .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Число
називається
–кратним
коренем полінома
тоді
і тільки тоді, коли
,
причому
.
! Теоретичні відомості !
Число
називається
–кратним
коренем полінома
тоді
і тільки тоді, коли
,
.
Знайдемо похідну заданого многочлена:
.
За
допомогою алгоритму Евкліда знайдено
НСД поліномів
та
.
Зауваження. Для спрощення обчислень многочлени можна множити на будь-яке ненульове число.
– |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
||
|
– |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
||
0 |
Отже,
.
Легко
бачити, що
.
Число
є коренем кратності 1 для многочлена
і значить воно є коренем кратності
для многочлена
.
Значення
є коренем кратності 2 для многочлена
,
а, отже, воно є коренем кратності
для многочлена
.
Таким
чином,
.
Частка від такого ділення дорівнює
,
а тоді
.
Відповідь.
.