4.4.1. Алгоритм метода простой итерации
1. Задаем e >0 – точность результатов.
2. Систему (4.1) преобразуем в систему (4.29) так, чтобы выполнялись условия (4.33) – (4.36).
3. Задаем начальное
приближение
.
4. Подставив
в систему (4.29), вычисляем первое приближение
корня
,
далее, подставив
в (4.29), вычисляем
и т.д.
5. При достижении
на некотором шаге
условия
(где
)
прекращаем счет и за решение принимаем
значение
.
4.5. Метод Зейделя
Метод Зейделя является одним из широко применяемых итерационных методов. Выше отмечалось, что прежде чем приступить к решению системы линейных уравнений методом итераций, необходимо проверить систему на сходимость. Но для метода Зейделя разработана практическая процедура преобразования исходной системы (4.1), гарантирующей сходимость итерационного процесса, содержание которой заключается в следующем.
Представим систему (4.1) в матричной форме:
.
(4.37)
Умножим левую и
правую части системы (4.37) слева на
:
.
(4.38)
Обозначим в (4.38)
,
а
,
таким образом:
(4.39)
Систему (4.39) принято называть нормальной, для которой существует теорема: итерационный процесс Зейделя для системы (4.39) всегда сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения.
Нормальную систему необходимо привести виду (4.35), допускающему осуществление итерационного процесса.
Задаем начальное
приближение корня
и начинаем счет.
Основная
идея метода Зейделя состоим в том, что
на каждом шаге итерационного процесса
при вычислении значения
учитываются уже полученные значения
,
,
...,
:
(4.40)
И если задана
допустимая погрешность вычисления
,
то условием выхода из итерационного
процесса будет выполнение неравенства
(i
= 1, 2, ..., n).
4.5.1. Геометрическая интерпретация метода Зейделя
Пусть даны две система из двух уравнений с двумя неизвестными, причем вторая получена из первой перестановкой уравнений:
(4.41)
Проверяем первую
систему на сходимость, то есть на
выполнение условия (4.35): в первом уравнении
,
во втором —
,
значит, вторую систему из (4.41) можно
решать методом итерации (Рис. 4.1, а).
Для второй системы
из (4.41) проверяем условие (4.35) и получаем:
для первого уравнения и
для второго; т.е. ни один из диагональных
элементов не удовлетворяет условию
(4.35), поэтому для первой системы
итерационный процесс должен получиться
расходящимся (хотя рассматриваемые
уравнения эквивалентны) (Рис. 4.1, б).
Рис. 4.1, в дает представление об еще одном возможном случае итерационного процесса в методе Зейделя, а именно, когда исходная система такая, процесс получается циклическим, т.е. решения системы не существует.
а)
б)
в)
Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация метода Зейделя
Тема. Вычисление определителя и обратной матрицы.