3.4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Общие положения. Метод простой итерации

Как известно, в итерационных методах строится бесконечно повторяющийся процесс и если этот процесс сходится, то на каждом его шаге получают все более и более точное приближение к искомому решению данной системы уравнений.

Перепишем систему (4.1) в следующем виде:

(4.29)

или сокращенно:

, (i = 1, 2, …, n). (4.30)

Используя систему (4.29) и выбрав начальную точку (за начальное приближение часто берут столбец свободных членов системы (4.29))

), (4.31)

можно построить итерационную последовательность точек n-мерного пространства (аналогично методу простой итерации для скалярного уравнения ):

(4.32)

Оказывается, при определенных условиях последовательность (4.32) сходится и ее предел является решением системы (4.29), а именно, чтобы последовательность (4.32) была сходящейся, достаточно выполнения одного из названных ниже условий (выводятся на основе понятия метрическое пространство).

а) максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой системы (4.29), взятых по строкам, должна быть меньше единицы:

. (4.33)

б) максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой системы (4.29), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы:

; (4.34)

заметим, возвращаясь к системе (4.1), данное условие записывают и так:

. (4.35)

в) сумма квадратов всех коэффициентов при неизвестных в правой системы (4.29) должна быть меньше единицы:

. (4.36)

Необходимо отметить, что каждое из условий (4.33) – (4.36) является достаточным для того, чтобы итерационный процесс (4.32) был сходящимся, а условие (4.34) (или (4.35)) является также и необходимым.

В случае, если, допустим, условие (4.35) не выполняется, то выбирают из уравнений системы такие уравнения, модули коэффициентов в которых больше суммы модулей остальных коэффициентов. Выбранные уравнения записывают так, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Остальные уравнения составляют с помощью линейной комбинации оставшихся и выбранных уравнений.

Пример 4.1. Для системы уравнений

; (a)

; (b)

; (c)

(d)

условие (4.35) выполняется только для (d): =6.

Преобразовать эту системе можно так.

Уравнение (с) нужно сделать вторым, так как в этом случае элемент, равный 7, станет диагональным и для него будет выполняться условие (4.35): =4. Первое уравнение получаем линейной комбинацией всех четырех уравнений: 2·c + b + + a +d, а третье – как (a) – (b).

В итоге получаем систему уравнений

,

,

,

,

у которой все диагональные элементы удовлетворяют условию (4.35).