2,6. Метод хорд.

Пусть дано нелинейное уравнение

, (2.6)

где непрерывна на отрезке [a, b] и . Для определенности положим , а (рис. 2.7). Метод хорд (или способ пропорциональных частей) вычисления корня нелинейного уравнения будет заключаться в следующем.

Соединив точки A и B, получаем хорду AB, уравнение которой есть

. (2.7)

Теперь кривую заменим хордой AB, тогда приближенным значением

y

B

a b

О x

A

Рис. 2.7. Метод хорд

корня уравнения (2.6) будет точка пересечения хорды с осью x, абсциссу этой точки определим, полагая в (2.7) x = и y = 0:

. (2.8)

Если провести через точку ось ординат, то получим точку пересечения этой оси с кривой : . Соединив точки и B, получаем хорду B. Кривую заменим теперь хордой B, тогда следующим приближением к корню будет , значение которого можно вычислить, полагая в (2.8) a = :

. (2.9)

Рассуждая подобным образом, мы получаем последовательность , , …, которая постепенно сходится к искомому значению корня . Распространяя формулу (2.9) на общий случай, получаем следующую формулу для метода хорд (предполагая, ):

(n = 0, 1, 2, …). (2.10)

Данную формулу мы получили на основе геометрических построений на рис. 2.7, т. е. конец b неподвижен. Но если построить кривую, которая будет зеркально симметрична кривой , а обозначения оставить прежние, то читатель может легко обнаружить, что в этом случае неподвижным будет конец a, и формула для метода хорд будет следующая:

(n = 0, 1, 2, …). (2.11)

Естественно, возникает вопрос, который из концов принять за неподвижный? Правило такое: неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной (ср. с методом Ньютона).

Замечания к методу хорд.

1. Последовательные приближения лежат по ту сторону корня , где функция имеет знак, противоположный знаку ее второй производной .

2. Возможны четыре случая приближения к точному значению корня:

а) > 0, > 0  значения точного корня на каждом шаге определяются по недостатку (рис. 2.8);

б) > 0, < 0  значения точного корня на каждом шаге определяются по избытку (рис. 2.9);

в) < 0, > 0  значения точного корня на каждом шаге определяются по избытку (рис. 2.10);

г) < 0, < 0  значения точного корня на каждом шаге определяются по недостатку (рис. 2.11).

3. Можно легко проверить, что случаи, названные в п.2, являются противоположными по отношению к методу Ньютона. Поэтому для вычисления более точного значения корня можно поступить следующим образом: сначала вычислить с заданной точностью значение корня по методу Ньютона, а затем с той же точностью  по методу хорд, а за значения корня принять среднее из этих величин.

На рис. 2.8-2.11 жирные стрелки дают геометрическую картину последовательных приближений точного корня , вырабатываемых по методу хорд, а жирные пунктирные стрелки  по методу Ньютона (тонкими пунктирными линиями обозначены касательные к , проведенные в точках для нулевого приближения в методе Ньютона).

y y B

B

x x

A

A

Рис. 2.8 Рис. 2.9

y y A

A

x x

B

B

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Пример на вычисление корня нелинейного уравнения по методу хорд дан в программе.

д) Общие замечания к численным методам решения нелинейных уравнений.

1). Ввиду того, что в выражении (2.3а) коэффициент k может выбираться с большим произволом (его выбор ограничен только одним условием, а именно он должен обеспечить выполнение условия a < x < b), данная формула является весьма общей, и она может дать рабочие формулы, кроме рассмотренного метода простой итерации, и для других методов уточнения корня для нелинейных уравнений. Например, если положить в формуле (2.3а) , получим формулу для метода Ньютона.

2). Как известно, при вычислении корня нелинейного уравнения для прерывания процесса приближения к корню задется критерий  заданная точность вычисления. Этот критерий можно задавать различными способами. И нужно заметить, эти способы не всегда приводят к желаемым результатам.

Сейчас более подробно остановимся на особенностях некоторых критериев.

2.1) Например, один из способов задания критерия такой. Уточнение значения корня продолжают до тех пор, пока разность между двумя последовательными значениями корней по абсолютной величине не будет меньше или равна заданной точности :

.

При задании критерия таким способом для функций, имеющих большую крутизну в области существования корня, можно получить большую ошибку (см. рис. 2.12). В приведенном примере видно, что хотя разность уже меньше заданной точности , то есть за значение корня мы должны брать величину , значение функции в этой точке заведомо не равно нулю.

2.2) Рассмотрим еще один способ задания критерия прекращения вычислений: отыскание очередного значения корня прекращают, если функция в области существования корня будет меньше некоторой величины :

.

Этот способ дает большую ошибку вычисленного значения корня для пологих функций (см. рис. 2.13. На этом рисунке изображен отрезком ). Как видно из рисунка, для очередного значения корня функция . Однако так же, как и в предыдущем примере, истинного значения корня мы не получим.

Рис. 2.12.

e

O

Рис. 2.13

2.3) Существуют и другие способы задавания критерия. Например, вычисления заканчивают по достижению величины относительной точности :

.

2.4) В интервале изоляции корня желательно исследовать поведение функции вблизи точки, где при применении метода итерации два последовательных приближения и совпадают между собой с заданной точностью . В этом случае, казалось бы, с той же точностью справедливо равенство . Но насколько далеко это утверждение от истины, видно на рис. 2.14.

В самом деле, разность |  | уже значительно меньше , но принять за корень мы не можем, так как получим расхождение от истинного значения корня, равное  , которое значительно больше .

y y = x

y = f (x)

x

Рис. 2.14

2.5) Существует также несколько оценок точности корня по значениям первой и второй производных от функции. Но, как правило, при оценке точности корней ограничиваются одним из трех приведенных выше условий, так как вычисление самих производных бывает связано со значительными трудностями, а порой и вообще невозможно.

2.6) Там, где невозможно добиться необходимой точности вычисляемого корня по одному из трех условий, прибегают к комбинированным условиям. Например, осуществляют проверку выполняемости условий всех сразу. Или за основу вычисления корня можно принять критерий, который мы приводили в замечании 3 к методу хорд (см. стр. 32). По этому критерию, как уже отмечалось, за значение корня можно принять среднее значение (при достижении соответствующих условий), вычисленное при помощи метода Ньютона и по методу хорд.

2.7) На практике необходимо всегда выводить на печать не только значение полученного корня, но и производные первого и второго порядка в этой точке, так как по этим результатам можно судить о правильности оценки и, если нужно, ввести дополнительные условия окончания процесса вычислений.