25

Численные методы

ЛЕКЦИЯ 2

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

(ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ)

ЛЕКЦИЯ 2

Тема. Численное решение нелинейных уравнений

2.1. Решение задач математического моделирования.

Классификация методов

После построения математической модели исследуемого явления (или объекта) наступает следующий этап исследования – поиск метода решения и решение сформулированной математической задачи. Для этого сложные задачи необходимо разбить на ряд элементарных, в частности, привести к решению алгебраических задач, которые могут быть классифицированы, во-первых, по числу решаемых уравнений, а во-вторых, по типу и количеству ожидаемых ответов (рис. 2.1).

Алгебраические и трансцендентные

уравнения

Одно уравнение Система уравнений

Линейное Линейная Нелинейная

(одно ре- Нелинейное (одно ре- (несколько

шение) шение) решений)

Алгебраичес- Трансцендент-

кое (n реше- ное (неопреде-

ний) ленное число

решений)

Рис. 2.1. Схема классификации алгебраических задач

В зависимости от сложности математической модели этап нахождения решения задачи может быть выполнен различными способами:

а) аналитически;

б) графически;

в) численными методами.

Причем каждый из этих способов может быть реализован или при помощи ручных вычислений, или вычислений с применением компьютеров. В последнем случае решение задачи можно выполнить или при помощи программ, составленных на алгоритмических языках (Бейсик, Паскаль и др.), или с использованием математических пакетов (Еxcel, Mathcad и др.).

Остановимся на характеристике аналитических и численных методов (как применяются графические методы, будет показано на примерах решения конкретных задач).

Для современных инженерно-технических задач необходимо использовать сложный математический аппарат и развитые методы их решения. При этом часто приходится встречаться с задачами, для которых аналитическое решение (то есть общее решение в виде аналитического выражения, связывающего исходные данные задачи с требуемыми результатами) либо вообще невозможно, либо выражается такими громоздкими формулами, что использование их для практических целей явно нецелесообразно.

В этом случае применяются численные методы решения, которые позволяют достаточно просто получить численное решение поставленной задачи.

Численные методы реализуются с помощью вычислительных алгоритмов, то есть систем правил, которые задают строго определенную последовательность математических операций, приводящую к искомому ответу. В простейшем случае последовательность математических операций, с помощью которых можно вычислить искомые величины, определяется формулами. Но в некоторых случаях не существует формулы для решения задачи (примером такого случая может служить задача отыскания наибольшего общего делителя двух целых чисел).

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы – точные и приближенные.

Точными называются методы, которые предполагают, что вычисления ведутся точно, то есть с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин. Однако точные численные методы могут оказаться настолько громоздкими, что могут оказаться неприемлемыми для практического использования. Любая погрешность, допущенная в промежуточных вычислениях, при работе с точными методами влияет и на конечный результат.

Приближенными называются методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью. Но здесь необходимо сразу подчеркнуть, что методы приближенные вовсе не означают неточные, и с точки зрения практических приложений приближенные методы ни в чем не уступают точным. Действительно, пусть, например, при решении некоторого квадратного уравнения найдено точное значение одного из корней . Но для того чтобы воспользоваться этим результатом, все равно придется заменить его приближенным значением с требуемой в задаче точностью.

Приближенный метод называется итерационным, если решение с его помощью может быть получено как результат бесконечного процесса повторяющихся операций, при котором каждая следующая операция уточняет значения неизвестных, используя приближенные значения, уже найденные на предыдущих операциях. Вычислительный алгоритм решения многих математических задач, для которых не удается получить ответ в виде формулы, основаны на следующей процедуре: строится бесконечный процесс, сходящийся к искомому решению. Он обрывается на некотором шаге (вычисления нельзя продолжать бесконечно), и полученная таким образом величина приближенно принимается за решение рассматриваемой математической задачи. Сходимость процесса гарантирует, что для любого числа (), называемого заданной точностью (задаваемой погрешностью, допустимой погрешностью) вычислений, найдется такой номер шага N, что на этом шаге ошибка в определении решения задачи не превысит . Вычислительный алгоритм, реализующий такой метод, называется итерационным алгоритмом.

Итерационные алгоритмы не всегда сходятся в применении к данному классу уравнений, однако если они сходятся, то затраты времени на получение решения с приемлемой точностью, как правило, сокращаются по сравнению с точными методами решения той же задачи. Итерационные алгоритмы, в отличие от точных, требуют предварительной проверки условий сходимости и выбора начального приближения.

Проблема применения алгоритмов, использующих бесконечный сходящийся процесс, заключается не в приближенном характере ответа, а в большом объеме необходимых вычислений. Их широкое применение стало возможным благодаря ЭВМ.

Наряду с использованием программ, в настоящее время для автоматизации инженерных и математических расчетов на ЭВМ широко применяются различные математические пакеты: некоторые из этих пакетов рассчитаны на решение конкретных видов задач (например, при помощи пакета Statgraphics удобно решать статистические задачи), другие же могут применяться при решении широкого круга задач (Mathcad, Mathlab и др.); кроме того, пакеты различаются по своим возможностям (например, на некоторых пакетах не предусмотрено решение дифференциальных уравнений); некоторые пакеты (например, Mathcad 7.0 PRO) могут работать и в сети Internet. Но во всех пакетах удобством является то, что в них использование средств программирования сведено к минимуму, а также то, что запись формул обычно выполняется в форме, близкой к общепринятой.

2.2. Решение нелинейных уравнений. Общие положения

Нелинейным называется уравнение вида

(2.1)

где – алгебраическая или трансцендентная функция переменной , определенная и непрерывная на некотором конечном или бесконечном интервале Всякое число , при котором функция обращается в нуль, называется корнем уравнения (2.1).

Уравнение (2.1) называется алгебраическим, если его левая часть в канонической форме представляет собой многочлен:

(2.2)

Это уравнение имеет действительных или комплексных корней. Нужно обратить внимание на следующее: при приведении алгебраического уравнения к виду (2.2) могут появиться лишние корни.

Например, уравнение имеет следующую каноническую форму:

Если левая часть уравнения (2.1) является неалгебраической функцией, например логарифмической, показательной, тригонометрической и т. д., то уравнение (2.1) называется трансцендентным.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразований (т.е. точными методами), на практике их решают только численными методами.

Задача численного нахождения корней уравнения (2.1) обычно разбивается на два этапа:

Первый этап состоит в отделении корней, т.е. находят достаточно малые окрестности в рассматриваемой области, в которых содержится одно значение корня. Для отделения корня пользуются теоремой математического анализа, утверждающей, что если значения непрерывной функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения. Если внутри интервала производная знак сохраняет, то этот корень на интервале единственный. Такой интервал называют интервалом изоляции корня. На этом этапе большую помощь может оказать построение графика функции, например, применяя различные математические пакеты, с сопутствующим анализом на монотонность, смену знака, выпуклость функции и т. д.

На втором этапе производится уточнение этих корней с помощью численных методов, в том числе итерационных, для достижения заданной точности нахождения корней уравнения.

2.3. Метод простой итерации

Заменим (1.1) равносильным уравнением (разрешающей формулой)

, (2.2)

где

=, (). (2.3)

Очевидно, решением уравнения (2.2) будет абсцисса точки пересечения прямой y = x и функции .

Решение по методу простой итерации выполняется следующим образом.

Задав начальное приближение корня (заметим, за начальное приближение желательно принять ту из граничных точек, для которой значение производной функции меньше, т.к. в этом случае процесс итераций сходится быстрее) и подставив его в правую часть преобразованного уравнения (1.3), вычисляем уточненное значение по формуле

Аналогично

(2.4)

где Этот процесс последовательного вычисления значений корня называется итерационным процессом (процессом последовательных приближений). Предел последовательности , если он существует, является корнем уравнения (1.3). Практически итерационный процесс продолжают до тех пор, ока на шаге n не будет выполнено условие (для пологих функций в области существования корня)

, (2.5)

или (для функций, имеющих большую крутизну в области существования корня)

(2.6)

где – заранее заданное положительное число, называемое точностью вычислений, а q – максимальное значение при x .

Условием сходимости процесса итерации, т.е. условием существования предела, является выполнение на отрезке неравенства

, (2.7)

которое можно достичь, если для k из (1.4) выполняются неравенства

, ; . (2.8)

Первое из неравенств (2.8) определяет знак k, а второе – ее величину (т.е. модуль). Значение параметра k должно быть как можно ближе к .

(Пример решения нелинейного уравнения по методу простой итерации дан в Методических указаниях.)

Графическая интерпретация процесса вычисления корня по методу простой итерации дана на рис. 2.1.

y

y = F (x) y =x

0 x

Рис. 2.1

На рис. 2.1 изображена кривая и прямая (очевидно, что в данном случае , поэтому процесс итерации является сходящимся). – абсцисса точки их пересечения, являющаяся корнем уравнения (2.1), значение которого заранее неизвестно. () – начальное приближение корня, а , , т. д. – последующие приближения к .

Задание. Графически показать ход решения, когда первая производная функции F(x) положительна.