2.2. Формульное задание функций алгебры логики
Дадим индуктивное определение формулы над множеством. Это определение несколько сложное по форме, но будет полезно в дальнейшем. С индуктивным определением мы встречались в математическом анализе при определении n-го дифференциала dnf(x) : было введено понятие первого дифференциала df(x), а затем n-й дифференциал определялся как первый дифференциал от d(n–1)f(x).
Определение 1. Пусть МP2, тогда:
1) каждая функция f(x1, ..., xn) называется формулой над ;
2) пусть g(x1, ..., xm)G1, ..., Gm – либо переменные, либо формулы над . Тогда выражение g(G1...Gn) – формула над .
Формулы будем обозначать заглавными буквами: N[f1, ..., fs], имея в виду функции, участвовавшие в построении формулы, или N(х1, ..., xk) имея в виду переменные, вошедшие в формулу. Gi – формулы, участвовавшие в построении g(G1, ..., Gn), называются подформулами.
Пример 1. Пусть N={(x1x2),(x1x2),(x )}, тогда ((х1х2)х3) – формула над .
Сопоставим каждой формуле N(x1, ..., xn) функцию f(x1, ..., xn)P2. Сопоставление будем производить в соответствии с индуктивным определением формулы.
1) Пусть N(x1, ..., xn)=f(x1, ..., xn), тогда формуле N(x1, ..., xn) сопоставим функцию f(x1, ..., xn).
2) Пусть N(x1, ..., xn)=g(G1,
..., Gm), где каждое Gi
– либо формула над M, либо
переменная, тогда по индуктивному
предположению каждому Gi
сопоставлена либо функция fiP2
, либо переменная хi ,
которую можно считать тождественной
функцией. Таким образом, каждой формуле
Gi сопоставлена функция
fi(
),
причем:{
}{x1,
..., xn}, т.к. в формуле N(x1,
..., xn) перечислены все
переменные, участвовавшие в построении
формулы. Можно считать, что все функции
fi зависят от переменных
(x1, ..., xn), причем
какие-то переменные могут быть фиктивными.
Тогда N(x1, ..., xn)
= g(G1, ..., Gm) =
g( f1(x1, ..., xn),
..., fm(x1,..,xn)).
Сопоставим этой формуле функцию h(x1,
..., xn) следующим образом:
пусть (1,
..., n)
– произвольный набор переменных (x1,
..., xn). Вычислим значение
каждой функции fi на этом
наборе, пусть f(1,
..., n)=i,
затем найдем значение функции g(x1,
..., xm) на наборе (1,
..., m)
и положим h(1,
..., n)
= g(1,
..., m)
= g(f1(1,
..., n),
..., fm(1,
..., n)).
Так как каждое fi(x1,
..., xn) есть функция, то на
любом наборе (1,
..., n)
она определяется однозначно, g(x1,
..., xm) – тоже функция,
следовательно, на наборе (1,
..., n)
она определяется однозначно, где h(x1,
..., xn) есть функция,
определенная на любом наборе (1,
..., n).
Множество всех формул над M обозначим через <M>.
Определение 2. Две формулы N и D из <M> называются равными N=D или эквивалентными ND , если функции, реализуемые ими, равны.
Пример 2. Доказать эквивалентность формул:
(
&(х2x3))~(
)
.
-
x1
x2
x3
x2x3
&
x2
x3x3
x2&
x1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0