- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Перестановки. Размещения. Сочетания
- •Теорема.
- •1.2. Задачи по комбинаторике
- •2. Функции алгебры логики
- •2.1. Элементарные функции алгебры логики
- •Пример 2.
- •2.2. Формульное задание функций алгебры логики
- •Упрощение записи формул:
- •Теорема о замене подформул на эквивалентные
- •Некоторые свойства элементарных функций
- •Следствия из свойств элементарных функций
- •Пример 3:
- •2.3 Принцип двойственности
- •Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:
- •Пример 3. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1х2 двойственна к функции x1|x2.
- •Принцип двойственности
- •Лемма о несамодвойственной функции
- •2.4 Разложение булевой функции по переменным
- •Теорема о разложении функции по переменным
- •2.5. Полнота, примеры полных систем
- •Полные системы
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина
- •Теорема Жегалкина
- •2.6. Замыкание и замкнутые классы
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Теорема Поста о полноте
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Теорема о достаточности четырех функций.
- •2.7. Функции k - значной логики
- •Теорема о полной в Рk системе функций
- •2.8. Задачи и упражнения по функциям алгебры логики
- •1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :
- •2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:
- •3. Минимизация булевых функций
- •3.1. Минимизация нормальных форм
- •Алгоритм Квайна построения сокращенной днф.
- •Метод Блейка
- •Алгоритм построения сокращенной днф с помощью кнф (метод Нельсона)
- •Построение всех тупиковых днф.
- •Алгоритм минимизации функций в классе днф
- •Алгоритм минимизации функций в классе кнф
- •Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм
- •3.2 Минимизация частично определенных функций
- •Метод минимизирующих карт Карно
- •3.3 Задачи по минимизации и доопределению булевых функций
- •4. Логика высказываний
- •4.1. Введение в логику высказываний
- •4.2. Задачи по алгебре высказываний
- •Список литературы
Теорема Поста о полноте
Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T0, T1, L, S, M.
Доказательство. Докажем необходимость этого условия. Пусть система
N = {f1, f2, ...fs, ...} полна в Р2, покажем, что тогда она не лежит целиком в Q, где через Q обозначим любой из классов T0, T1, L, S, M. Докажем от противного, пусть N Q, очевидно, [N] [Q] = Q, но [N] = P2, т.к. N – полна в Р2, отсюда Р2=Q, но это не так. Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть F = {f0, f1, fL, fm, fs}, где f0T0, f1T1, fLL, fsS и fmM. Покажем, что суперпозицией функций системы F можно получить полную систему G = {x1&x2, }.
1. Пусть g(x) = f0(x, …, x). Тогда g(0) = f( 0, …, 0) = 1. Далее возможны два случая:
g(1) = 1. Тогда g(x) 1. Функция h(x) = f1(g(x), …, g(x)) = f1(1, …, 1) = 0, т.е. h(x) 0. Получили константы 0 и 1;
g(1) = 0. Тогда g(x) =. По лемме о несамодвойственной функции суперпозицией над {fs, } можно получить одну из констант, например, 0. Тогда f0(0, …, 0) = 1 есть другая константа.
В обоих случаях получили обе константы.
2. По лемме о немонотонной функции суперпозицией над {fm, 0, 1} можно получить отрицание.
3. По лемме о нелинейной функции суперпозицией над {fL, 1, } можно получить конъюнкцию. Теорема доказана.
Следствие. Всякий замкнутый класс функций из Р2, не совпадающий с Р2 содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классов T0, T1, L, S, M. Действительно, если N не является подмножеством Q, то [N] = P2, что неверно.
Примеры использования теоремы Поста.
1. Покажем, что система функций {f1 =x1x2, f2 =0, f3 =1, f4 = x1x2x3} полна в Р2. Составим таблицу, которая называется критериальной :
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
x1x2 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
0 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
1 |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
x1x2x3 |
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
x1 x2 x3 |
x1x2x3 |
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
0 0 0 0 1 0 0 1 |
Из таблицы видно, что какой бы класс мы ни взяли, всегда есть функция из данной системы , которая в этот класс не входит. Можно сформулировать следующее правило: для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце критериальной таблицы был хотя бы один «минус».
Отметим еще одно обстоятельство, касающееся приведенной системы. Какую бы функцию из этой системы мы ни удалили, система станет неполной, действительно, {f2, f3, f4}L, {f1, f3, f4}T1, {f1, f2, f4}T0, {f1, f2, f3}M.
2. Мы знаем, что система {x1|x2} – полна в Р2. Какова для нее критериальная таблица? x1|x2= = x1x21.
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
x1|x2 |
- |
- |
- |
- |
- |