- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Перестановки. Размещения. Сочетания
- •Теорема.
- •1.2. Задачи по комбинаторике
- •2. Функции алгебры логики
- •2.1. Элементарные функции алгебры логики
- •Пример 2.
- •2.2. Формульное задание функций алгебры логики
- •Упрощение записи формул:
- •Теорема о замене подформул на эквивалентные
- •Некоторые свойства элементарных функций
- •Следствия из свойств элементарных функций
- •Пример 3:
- •2.3 Принцип двойственности
- •Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:
- •Пример 3. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1х2 двойственна к функции x1|x2.
- •Принцип двойственности
- •Лемма о несамодвойственной функции
- •2.4 Разложение булевой функции по переменным
- •Теорема о разложении функции по переменным
- •2.5. Полнота, примеры полных систем
- •Полные системы
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина
- •Теорема Жегалкина
- •2.6. Замыкание и замкнутые классы
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Теорема Поста о полноте
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Теорема о достаточности четырех функций.
- •2.7. Функции k - значной логики
- •Теорема о полной в Рk системе функций
- •2.8. Задачи и упражнения по функциям алгебры логики
- •1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :
- •2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:
- •3. Минимизация булевых функций
- •3.1. Минимизация нормальных форм
- •Алгоритм Квайна построения сокращенной днф.
- •Метод Блейка
- •Алгоритм построения сокращенной днф с помощью кнф (метод Нельсона)
- •Построение всех тупиковых днф.
- •Алгоритм минимизации функций в классе днф
- •Алгоритм минимизации функций в классе кнф
- •Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм
- •3.2 Минимизация частично определенных функций
- •Метод минимизирующих карт Карно
- •3.3 Задачи по минимизации и доопределению булевых функций
- •4. Логика высказываний
- •4.1. Введение в логику высказываний
- •4.2. Задачи по алгебре высказываний
- •Список литературы
Алгоритм Квайна построения сокращенной днф.
1. Получить СДНФ функции f.
2. Провести все операции неполного склеивания.
3. Провести все операции поглощения.
Пример 1. Построим сокращенную ДНФ для функции, приведенной в таблице 3.1.
Таблица 3.1
-
x
y
z
t
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
f
1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1
1. Строим СДНФ функции f:
. Пронумеруем дизъюнктивные члены в полученной СДНФ в порядке от 1 до 11.
2. Проводим все операции неполного склеивания.
Первый этап склеивания в таблице 3.2.
После первого этапа склеиваний (и возможных поглощений) получаем, что
Пронумеруем дизъюнктивные члены в полученной ДНФ в порядке их следования от 1 до 15.
Второй этап склеиваний в таблице 3.3.
После второго этапа склеиваний и последующих поглощений получаем, что Это и будет сокращенной ДНФ для функции f, ибо дальнейшие склеивания невозможны.
Таблица 3.2
Слагаемые |
Склеивание по |
Результат |
1,2 |
T |
|
1,3 |
Z |
|
1,6 |
X |
|
2,4 |
Z |
|
2,5 |
Y |
|
3,4 |
T |
|
3,7 |
X |
|
5,9 |
X |
|
6,7 |
Z |
|
6,8 |
Y |
|
7,10 |
Y |
|
8,9 |
T |
|
8,10 |
Z |
|
9,11 |
Z |
xyt |
10,11 |
T |
xyz |
Таблица 3.3
-
Слагаемые
Склеивание по
Результат
1, 6
Z
2, 4
T
2, 8
X
3, 7
Z
8, 13
Y
x
10, 11
Z
x
12, 15
Z
xy
13, 14
T
xy
Метод Блейка
Метод Блейка для построения сокращенной ДНФ из произвольной ДНФ состоит в применении правил обобщенного склеивания и поглощения. Подразумевается, что правила применяются слева направо. На первом этапе производится операция обобщенного склеивания до тех пор, пока это возможно. На втором производится операция поглощения.
Пример 2. Построить сокращенную ДНФ по ДНФ D функции f(x,y,z), где
После первого этапа получаем:
После второго этапа получаем сокращенную ДНФ: