- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Перестановки. Размещения. Сочетания
- •Теорема.
- •1.2. Задачи по комбинаторике
- •2. Функции алгебры логики
- •2.1. Элементарные функции алгебры логики
- •Пример 2.
- •2.2. Формульное задание функций алгебры логики
- •Упрощение записи формул:
- •Теорема о замене подформул на эквивалентные
- •Некоторые свойства элементарных функций
- •Следствия из свойств элементарных функций
- •Пример 3:
- •2.3 Принцип двойственности
- •Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:
- •Пример 3. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1х2 двойственна к функции x1|x2.
- •Принцип двойственности
- •Лемма о несамодвойственной функции
- •2.4 Разложение булевой функции по переменным
- •Теорема о разложении функции по переменным
- •2.5. Полнота, примеры полных систем
- •Полные системы
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина
- •Теорема Жегалкина
- •2.6. Замыкание и замкнутые классы
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Теорема Поста о полноте
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Теорема о достаточности четырех функций.
- •2.7. Функции k - значной логики
- •Теорема о полной в Рk системе функций
- •2.8. Задачи и упражнения по функциям алгебры логики
- •1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :
- •2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:
- •3. Минимизация булевых функций
- •3.1. Минимизация нормальных форм
- •Алгоритм Квайна построения сокращенной днф.
- •Метод Блейка
- •Алгоритм построения сокращенной днф с помощью кнф (метод Нельсона)
- •Построение всех тупиковых днф.
- •Алгоритм минимизации функций в классе днф
- •Алгоритм минимизации функций в классе кнф
- •Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм
- •3.2 Минимизация частично определенных функций
- •Метод минимизирующих карт Карно
- •3.3 Задачи по минимизации и доопределению булевых функций
- •4. Логика высказываний
- •4.1. Введение в логику высказываний
- •4.2. Задачи по алгебре высказываний
- •Список литературы
Пример 2.
Рассмотрим несколько функций двух переменных
-
x1
x2
(x1x2)
f3
f15
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Покажем, что (х1x2) существенно зависит от х1. Рассмотрим наборы (0,1) и (1,1), здесь 2=1, f(0,2)=0 и не равно f(1,2)=1. Покажем, что х2 тоже существенная переменная. Рассмотрим наборы (1,0) и (1,1). Здесь 1=1, f(1,0)=0 и не равно f(1,1)=1. Для функции f3(x1,x2) покажем , что х2 – иктивная переменная, т.е. надо показать, что не существует наборов (1,0) и (1,1) таких, что f3(1,0)f3(1,1). Пусть 1=0, т.е. рассмотрим наборы (0,0) и (0,1), f(0,0)=f(0,1)=0. Пусть 1=1, но f(1,0)=f(1,1)=1.
Для функции f15 и x1 и x2 являются фиктивными переменными. x1 – фиктивная переменная, если не существует наборов (0,2) и (1,2), таких, что f(0,2)f(1,2). Если 2=0, то f(0,0)=f(1,0)=1. Пусть 2=1, тогда f(0,1)=f(1,1)=1.
Пусть хi является фиктивной переменной для функции f(x1, ..., xi, ..., xn). Тогда ее можно удалить из таблицы истинности, вычеркнув все строки вида: (1, ...i–1, 1, i+1, ...n) или, наоборот, все строки вида: (1, ..., i–1, 0, i+1, ...n) и столбец для переменной хi. При этом получим таблицу для некоторой функции g(x1, ..., xi–1, xi+1, ...xn). Будем говорить, что функция g(x1, ...xi–1, xi+1, ...xn) получена из функции f(x1, ..., xi, ...xn) путем удаления фиктивной переменной хi или f получена из g путем введения фиктивной переменной хi.
Определение 4. Функции f1 и f2 называются равными, если f2 можно получить из f1 путем добавления или удаления фиктивной переменной.
Пример 3.
-
x1
x2
f3
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Вычеркнули строки типа (,1), т.е. (0,1) и (1,1) и столбец для х2.
Получили f3(x1 x2) = g(x1) = x1.
Пример 4.
-
x1
x2
g
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Пусть функция g(x1 x2) задана таблицей и существенно зависит от обеих переменных. Построим функцию f(x1,x2,x3), которая получается из g(x1,x2) введением фиктивной переменной х3:
-
x1
x2
x3
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
К наборам (х1,х2) мы добавим х3=0, получим наборы вида: (1,2,0), на этих наборах функцию f положим равной g(,), затем добавим наборы вида (,,1), функцию f(,,1) положим равной g(,).
Особую роль играют константы 0 и 1, которые не имеют существенных переменных и которые можно рассматривать как функции от пустого множества переменных.