2. Функции алгебры логики

2.1. Элементарные функции алгебры логики

Обозначения: E₂={0,1}; Е= E₂E₂...E₂ – прямое произведение n сомножителей; (x,..,x_n) E₂, | E₂| – мощность E₂, |E₂|=2, тогда |Е|=2ⁿ.

Определение 1. Функцией алгебры логики называется закон, осуществляющий отображение Е E₂, причем отображение всюду определено и функционально.

Так как множество Е конечно, то задать отображение Е E₂, означает задать множество наборов из Е и для каждого набора указать его образ в Е ₂.

Пример 1. Пусть n=2, тогда Е={(0 0),(0 1),(1 0),(1 1)}, отображение Е E₂ задано, например, так: (0 0) 0 ; (0 1) 1; (1 0) 1 ; (1 1) 1

Тем самым задана функция, для которой мы будем использовать стандартное обозначение f(x₁,x₂), записывая эту функцию в виде таблицы:

x1	x2	f(x1,x2)
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1

Здесь x₁ и x₂ обозначают названия столбцов, а f – символ, обозначающий отображение. Следует обратить внимание, что функции f(x₁,x₂) и f(y₁,y₂) задают одно и то же отображение, и их таблицы отличаются только названиями столбцов.

Определение 2. Таблица, задающая функцию f(x₁,x₂,...,x_n), называется таблицей истинности для этой функции.

Рассмотрим функции одной переменной. Их будет всего 4, они задаются следующими таблицами истинности:

x	f0(x)
0 1	0 0

функция называется константой 0, записывается f₀(x)0;

x	f1(x)
0 1	0 1

функция называется тождественной, записывается f₁(x)= x;

x	f2(x)
0 1	1 0

функция называется «не x» и записывается f₂ (x)= ;

x	f3(x)
0 1	1 1

функция записывается f₃(x)1 и называется константой 1. Если стандартным расположением переменной x считать 0 в первой строке и 1 во второй, то функции f₀, f₁, f₂, f₃ определяются однозначно наборами значений: f₀=(0,0), f₁=(0,1), f₂=(1,0) и f₃=(1,1). Наборы значений функций составляют множество E₂Е₂, поэтому количество функций одной переменной равно |E₂E₂|=4. Для удобства функции пронумерованы так, что двоичный код номера совпадает с набором значений функции.

Рассмотрим функции двух переменных f(x₁,x₂). Функции двух переменных определены на множестве Е={(0 0),(0 1),(1 0),(1 1)}, эти наборы переменных из Е можно тоже рассматривать как двоичные коды чисел 0,1,2,3, именно такой порядок расположения наборов (x₁,x₂) будем считать стандартным. Тогда функции f(x₁,x₂) определяются однозначно наборами значений (₁, ₂, ₃, ₄), где каждое _iE₂, поэтому (₁, ₂, ₃, ₄)Е. Следовательно, число функций двух переменных равно 2⁴=16, занумеруем их числами от 0 до 15 так, чтобы двоичный код номера совпадал с набором значений функции.

x1 x2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0 0 0 1 1 0 1 1	0 0 0 0	0 0 0 1	0 0 1 0	0 0 1 1	0 1 0 0	0 1 0 1	0 1 1 0	0 1 1 1	1 0 0 0	1 0 0 1	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 1 1 0	1 1 1 1

Некоторые из этих функций носят специальные названия и играют такую же роль, как элементарные функции в анализе, поэтому называются элементарными функциями алгебры логики. Перечислим их.

1. f₁(x₁,x₂) = (x₁&x₂), читается «конъюнкция х₁ и х₂», иногда вместо знака & употребляют знак или вообще его опускают, пишут (х₁х₂). (х₁х₂) совпадает с обычным произведением х₁х₂ и совпадает с min(x₁,x₂). Эту операцию называют также логическим умножением.

2. f₆(x₁,x₂) = (x₁x₂) – сложение х₁ и х₂ по модулю два, иногда пишут (х₁+х₂)_mod2.

3) f₇(x₁,x₂) = (x₁x₂), читается «х₁ дизъюнкция х₂», она совпадает с max(x₁,x₂), ее называют логическим сложением.

4) f₈(x₁,x₂) = (x₁x₂), читается «х₁ стрелка Пирса х₂» и совпадает с отрицанием дизъюнкции, другие названия: функция Вебба, функция Даггера.

5) f₉(x₁,x₂) = (x₁x₂), читается «х₁ эквивалентно х₂».

6) f₁₃(x₁,x₂) =( x₁x₂), читается «х₁ импликация х₂», иногда обозначается (х₁х₂), т. е. х₁ влечет х₂ .

7) f₁₄(x₁,x₂) = (x₁|x₂), читается «х₁ штрих Шеффера х₂», она является отрицанием конъюнкции.

Cимволы ,участвующие в обозначениях элементарных функций, называются логическими связками или просто связками. Переменные 0 и 1 называются логическими или булевыми переменными, причем 0 соответствует «лжи» , а 1 – «истине», а функции алгебры логики называются еще и блевыми функциями.

Рассмотрим функции f(x₁...x_n), где (x₁...x_n) Е, тогда число наборов (x₁...x_n),где функция f(x₁...x_n) должна быть задана, равно |Е|=2ⁿ. Обозначим множество всех функций двузначной алгебры логики Р₂. Обозначим через Р₂(n) число функций, зависящих от n переменных. Очевидно, Р₂(n)=2^{2 n}.

С ростом n число Р₂(n) быстро растет: P₂(1)=4, P₂(2)=16, P₂(3)=256, P₂(4)=65536 . При больших n табличный способ задания функций становится неприемлемым, используется формульное задание функций. Но прежде чем ввести понятие формулы, дадим определение существенной переменной.

Определение 3. Функция f(x₁,...,x_i–1,x_i,x_i+1,...,x_n) существенно зависит от х_i, если существуют такие значения ₁, ..._i–1, _i+1, ..._nпеременных x₁, ...x_i–1, x_i+1, ...x_n, что f(₁, ..._i–1  _i+1._n)f(₁..._i–1  _i+1._n) . Тогда переменная х_i называется существенной переменной. В противном случае х_i называется фиктивной переменной.