3.2 Минимизация частично определенных функций

Пусть функция f(x₁,…,x_n) частично (не всюду) определена. Если f не определена на p наборах из 0 и 1, то существует 2^p возможностей для доопределения функции f. Полностью определенная функция g (x₁,…,x_n) есть доопределение функции f, если g совпадает с f на тех наборах из 0 и 1, на которых f определена.

Задача минимизации частично определенной функции f сводится к отысканию такого доопределения g функции f, которое имеет простейшую (по числу букв ) минимальную форму.

Обозначим через f₀(x₁,…,x_n) и f₁(x₁,…,x_n) доопределения нулями и единицами соответсвенно частично определенной функции f(x₁,…,x_n).

Теорема. Минимальная ДНФ частично определенной функции f(x₁,…,x_n) есть дизъюнкция самых коротких импликант в сокращенной ДНФ доопределения f₁(x₁,…,x_n), которые в совкупности накрывают все конституенты единицы доопределения f₀(x₁,…,x_n).

Доказательство. Рассмотрим СДНФ некоторого доопределения g(x₁,…,x_n) функции f(x₁,…,x_n). Конституенты единицы, входящие в эту форму, войдут и в СДНФ доопределения f₁. Поэтому любой простой импликант функции g будет совпадать с некоторым импликантом функции f₁ или накрываться им. Самые короткие импликанты , накрывающие единицы функции f , есть импликанты функции f₁. Доопределение f₀ имеет минимальное количество конституент единицы в своей СДНФ , следовательно , и количество простых импликант функции f₁ , потребных для накрытия этих конституент , будет наименьшим . ДНФ , составленная из самых коротких простых импликант в сокращенной ДНФ функции f₁ , накрывающих все конституенты единицы функции f₀ , будет самой короткой ДНФ, доопределяющей функцию f .

Так как единицы функции f₁ составлены из единиц функции f и единиц на наборах , на которых f не определена , то построенная ДНФ , накрывая все единицы функции f₀ ( а , следовательно , и все единицы функции f ) , совпадает с минимальной ДНФ некоторого доопределения g функции f .

Алгоритм минимизации частично определенных функций

в классе ДНФ

1. Строим СДНФ функции f₀ .

2. Строим сокращенную ДНФ функции f₁ .

3. С помощью матрицы покрытий коституент единицы функции f₀ простыми импликантами функции f₁ и решеточного выражения строим все тупиковые ДНФ (для некоторых доопределений функции f ) .

4. Среди полученных ТДНФ выбираем простейшие, они являются минимальными ДНФ ( для некоторых доопределений функции f ) .

Алгоритм минимизации частично определенных функций

в классе КНФ

Построение минимальных КНФ для частично определенной функции аналогично построению минимальных КНФ для всюду определенной функции.

Алгоритм минимизации частично определенных функций в классе нормальных форм аналогичен алгоритму минимизации в классе нормальных форм для всюду определенных функций.

Пример 1. В классе нормальных форм минимизировать частично определенную функцию f ( x, y, z, t ) = (1---010010-01--1)

Решение. Минимизируем функцию f в классе ДНФ.

1. Строим сокращенную ДНФ для доопределения единицами f₁ функции f по таблице 3.9.

Таблица 3.9

x y z t	f f0 f1 f h0 h1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1	1 1 1 0 0 0 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 1 1 1 0 0 0

2. Строим матрицу покрытий коституент единицы в СДНФ для доопределения нулями f₀ функции f с помощью построенной сокращенной ДНФ для f₁ ( таблица 3.10).

Таблица 3.10

N	ПИ
1					+	+
2		+
3				+	+
4		+		+
5			+
6			+

3. По таблице строим решеточный многочлен

E = (24)(56)(34)(13)1 = 145  125  146  1236.

4. Строим все тупиковые ДНФ :

5. Из построенных тупиковых ДНФ выбираем минимальные :

Функции g₁ и g₃ есть минимальные доопределения функции f в классе ДНФ.

Минимизируем теперь функцию f в классе КНФ. Для этого проведем минимизацию функции f в классе ДНФ Пусть h₀ и h₁ есть доопределение нулями и единицами соответственно функции f .

Сокращенная ДНФ для

Матрица покрытия конституент единицы в СДНФ для h₀ с помощью простых импликант в сокращенной ДНФ для h₁ приведена в таблице 3.11.

Таблица 3.11

N	ПИ
1					+	+
2			+	+
3			+
4					+
5		+	+
6						+

3. Решеточное выражение E=5 (2  3 5) 2 (1 4)(1 6) = 25(1 46) = 125  2446.

4. Строим две тупиковые ДНФ:

и

Минимальная.

5. Функция есть минимальное доопределение функции f в классе КНФ.

Найденные МДНФ g₁ , g₃ и МКНФ являются минимальными доопределениями функции f в классе нормальных форм.

Техническая реализация минимальных форм для функции часто проще, а потому дешевле реализации ее СДНФ ( СКНФ ) . Следовательно, этап минимизации при конструировании логических схем является одним из важнейших.