Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

508338_543BF_ahmetova_n_a_usmanova_z_m_diskretn....doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.12.2018

Размер:

3.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Теорема о полной в Рk системе функций

Cистема функций {max(x₁,x₂), min(x₁,x₂), 0, 1, ..., k–1, J₀(x), J₁(x), ..., J_k_-1(x)} является полной в Р_k и любая функция f(x₁, ..., x_n) P_k выражается формулой над этой системой следующим образом:

Эта формула есть своеобразный аналог СДНФ.

Доказательство. Покажем справедливость этой формулы на любом произвольном наборе (₁, ..., _n). Слева имеем f(₁, ..., _n). Справа имеем .

Если для какого-нибудь j из {1, 2, ..., n} i_j_j, то (_j) = 0 и min[J(₁), (₂), …, (_n), f(i₁,..,i_n)] = 0. Рассмотрим набор (i₁, ..., i_n), где i₁= ₁, i₂= _, ..., i_n= _n, тогда J(_) = k–1, J(_) = k–1, .., J(_n) = k–1 и min[J(_), ... , J(_n) f(₁, …, _n).] = min[(k–1), ..., (k–1), f(₁, …, _n).] = f(₁, …, _n), но тогда Так как набор (₁, ..., _n) произвольный и равенство на нем справедливо, то формула верна. В этой формуле использованы функции J_i(x), (i = 0, ..., k–1), min(x₁x₂), max(x₁x₂) и константы 0, ..., k–1, так как функция f(i₁, ..., i_n) есть число из {0, 1, ..., k–1}.

2.8. Задачи и упражнения по функциям алгебры логики

При оперировании с функциями алгебры логики бывают полезны следующие эквивалентности (большинство из них называют обычно основными эквивалентностями алгебры логики). Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:

– коммутативность связки , где символ  является общим обозначением для связок &, , , ~, |, .
– ассоциативность связки , где – общее обозначение для связок &,,,~.
Дистрибутивность

а) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

б) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;

в) – дистрибутивность конъюнкции относительно сложения по mod 2.

4. а); б) суть правила де Моргана;

5. а); б) суть правила поглощения;

6. а); б);

7. а); б);

в); г); д);

8. а);

б); в);

9. а); б).

1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :

Ответы: 2), 6), 9), 10) – эквивалентны; 3), 7) – не эквивалентны.

2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:

;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.

3. Используя приведенные выше основные эквивалентности и соотношения докажите эквивалентность формул V и U:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

Ответы:

4) ;

4. Используя непосредственно определение двойственности булевых функций, а также основные эквивалентности и соотношения, выясните, является ли функция g двойственной к функции f:

1), ;

2) , ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), ;

11), ;

12), .

Ответы: 4), . Значит, g не двойственна к f. 6) – не является; 8),9),11) – является.

5. Используя принцип двойственности, постройте формулу, реализующую функцию, двойственную к функции f, и убедитесь в том, что полученная формула эквивалентна формуле V:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), ;

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

Ответы:

2); 5); 10).

6. Указать все фиктивные переменные у функции f:

Ответы:1)две фиктивные переменные; 3)одна фиктивная переменная; 5)фиктивные переменные x₁ и x₃.

7. Показать, что x₁ – фиктивная переменная у функции f (реализовав для этой цели функцию f формулой, не содержащей явно переменную x₁):

1);

2);

3);

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10)

Ответы: 4),8),10) 9)

8. Выяснить, можно ли из функции f , отождествляя и переименовывая в ней переменные, получить функцию g:

1),

2),

3),

4),

5),

6),

7), ;

8), ;

9), ;

10), .

Ответы: 1),2),5),7),8),9),10)можно. 3),4),6)нельзя.

9. Представить в СДНФ следующие функции:

1);

10)

Ответы: 2); 4), 7)

10. Представить в СКНФ следующие функции:

10)

Ответы: 1); 2); 6) ; 8)

11. С помощью эквивалентных преобразований построить ДНФ функции

10)

Ответы:

10)

12. Используя эквивалентные преобразования, построить КНФ функции

2);

Ответы:

13. Применяя преобразования вида ипостроить из заданной ДНФ функции ее совершенную ДНФ:

Ответы:

14. С помощью преобразований вида и построить из данной КНФ функции ее совершенную КНФ:

Ответы:

15. Используя дистрибутивный закон и эквивалентности и перейти от заданной КНФ функции к ДНФ:

Ответы:

16. Используя дистрибутивный закон и эквивалентности и перейти от заданной ДНФ функции к ее КНФ:

Ответы:

17. Методом неопределенных коэффициентов найти полиномы Жегалкина для следующих функций:

10)

Ответы:

1) 3) 6)

10)

18. Методом треугольника Паскаля построить полином Жегалкина для этой функции, если:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Ответы:

1) 4) 7)

19. Представив функцию формулой над множеством связок {&, }, преобразуйте полученную формулу в полином Жегалкина функции (используя эквивалентности ):

10)

Ответы:

20. Построить множество всех функций, зависящих от переменных x₁,x₂ и принадлежащих замыканию множества А:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1) 2) 3)

4) 5) 6)

21. Покажите, что , выразив формулой над множеством А:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

22. Выписать все попарно неконгруэнтные функции , принадлежащие замыканию множества А:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8) 9) 10)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5)

23. Из полной для класса [A] системы выделить базис:

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8) 9) 10)

Ответы: 1) 2) 3) 4) 5)

24. Сведением к заведомо полным системам в P₂ показать, что множество А является полной системой в P₂:

10)

Ответы: 1)система является полной в P₂, поскольку всякая может быть представлена в виде ДНФ или КНФ. С другой стороны,

2) имеем Система полна, поскольку

3) имеем ;

4) имеем ;

5) имеем ;

25. Выяснить, является ли функция f самодвойственной:

11)

13)

15)

10)

12) 14)

Ответы: 1),3),4),8),10) – является; 2),5),6),7),9) – не является.

26. Выяснить, является ли самодвойственной функция f, заданная векторно:

11)

13)

15)

10)

12)

14)

Ответы: 1),3),5),6),7),8) – является; 2),4),9),10) – не является.

27. Выяснить, является ли множество А самодвойственным:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1),3),5-7),10) – является; 2),4),8),9) – не является.

28. Представив функцию f полиномом, выяснить, является ли она линейной:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 2),3),5),6),8),9)–является. 1),4),7),10)–не является.

29. Выяснить, является ли линейной функция f, заданная векторно:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1),3),4),5),7),8),9),10) – является; 2),6) – не является.

30. Доказать, что система А полна в L. Выяснить, является ли система A базисом в L:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1)с помощью суперпозиции из функции можно получить любую функцию вида , путем подстановки 1-любую функцию вида Система А является базисом;

2),3),4),5),7),8),9) – является; 6),10) – не является.

31. Выяснить, принадлежит ли функция f множеству T₁\T₀:

10)

Ответы: 1),3),4),6),8),9) – является; 2),5),7),10) – не является.

32. Подсчитать число функций, зависящих от переменных x₁,…,x_n и принадлежащих множеству А:

1);

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

Ответы: 1); 2); 3)2²ⁿ; 4); 5) 6)2ⁿ; 7); 8); 9); 10); 15) 0.

33. Доказать, что:

Указание: если то если то

34. Выяснить, является ли множество А базисом в классе К:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Ответы: 1)да. Имеем ;

2) А не является базисом в T₁,так как ;

А не является базисом в T₁,так как ;
А не является базисом в T₁,так как ;
А не является базисом в T₁,так как ;
А – базис в .

35. По вектору значений выяснить, является ли функция f монотонной:

Ответы: 2),3),5),8) – является; 1),4),6),7) – не является.

36. Проверить, является ли функция f монотонной:

Ответы: 1),2),4),6),7) – является; 3),5),8) – не является.

37. Выяснить, полна ли система функций:

10)

Ответы: 2),4),6) – полна; 1)нет, 3)нет, 5)нет,

38. Выяснить, полна ли система А функций, заданых векторами своих значений:

10)

Ответы: 3),5) – полна; 1)нет, 2)нет, 4)нет, 6)нет,

39. Выяснить, полна ли система А:

10)

Ответы: 1),4),6) – полна; 2)нет, 3)нет, 5)нет,

40. Проверить,является ли система функций А базисом в Р₂:

Ответы:1) нет, так как подсистема полна; 2) является; 3) не является, 4)нет, можно удалить

41. Из полной в Р₂ системы А выделить всевозможные базисы:

Ответы: 1)где

42. Используя теоретико- множественные операции, выразить через известные замкнутые классы T₀, T₁, L, S, M и P₂ замыкания множества А:

10)

11)

12)

Ответы: 1)P₂; 2) 3) 4) 5) 6)

43. Выяснить, можно ли расширить до базиса в Р₂ множество А:

Ответы: 1) можно, – базис; 2) нельзя, функция x входит во все предполные классы; 3) можно, – базис; 4) нет, функции и принадлежат одним и тем же предполным классам.